Nombres complexes 2ème partie
II] Forme trigonométrique
1. Module d'un nombre complexe • Si le point M est l'image du complexe z = a + bi ( a ∈ IR , b ∈ IR) dans le plan complexe ! , on appelle module de z, noté z , la distance OM z = OM =

a² + b² ou z n =

zz
; |z + z'| ≤ |z| + |z'|

• Propriétés : |z| = 0 ⇔ z = 0 ; n |zz'| = |z|.|z'| ; z = z Pour z' non nul :

|- z| = |z| ; z=z

z 1 1 z' z et = = = z' z' z' ² z' z' Si M a pour affixe z et si M' a pour affixe z' alors OM = |z| et MM' = |z' - z| ! ! Si u a pour affixe z, alors IIuII = |z|.
Exercice 1 : Résoudre dans ! , l’équation : 2! z !+!3z!!13!!6i!=!0 Exercice 2 : Déterminer l’ensemble des points M (d’affixe z) du plan complexe tels que a) z!!!1!+!2i !=!5 b) z!!!3!+!5i !=! z!+!2i 2. Argument d'un nombre complexe • Définition : Un argument du nombre complexe z non nul est une mesure de l'angle polaire du ! ! point M dans le plan complexe muni du repère (O;u; v ) , c'est à dire une mesure θ de l'angle ! """! orienté ( u;OM) . Le réel 0 n'a pas d'argument. Le nombre complexe i a pour module 1 et pour argument + • Propriétés : L'argument d'un nombre complexe z n'est pas unique, il est défini modulo 2π. Si θ est un argument de z, on notera arg z = θ [2π] ou arg z = θ + 2kπ (k ∈ Z ) Z On appelle argument principal de z l'argument de z appartenant à ]-π ; π]. Tout réel positif a un argument égal à 0. Tout réel négatif a un argument égal à π . Tout nombre imaginaire pur, de partie imaginaire strictement positive a un argument égal à nombre imaginaire pur, de partie imaginaire strictement négative a un argument égal à Exercice 3 : Déterminer l’ensemble des points M (d’affixe z) du plan complexe tels que ! a) arg(z+2i) = π + 2kπ (k ∈ Z ) Z b) arg(z-1) = + k! (k ∈ Z ) Z 2 π . 2
2

π
2

.

π et tout 2

⎧ | z | = | z '| ⎪ z = z' ⇔ ⎨ ⎪ arg ( z ) = arg ( z ') [2 π] ⎩ Soit z nombre complexe non nul : z = a + bi , z = r et arg z = θ + 2kπ (k ∈ Z ) Z
Pour z ∈ C* et z' ∈ C*, on a I I

⎧r = a² +