Exercice 2 : (5 points)
On considère la fonction numérique définie sur IR par : f(x) = si x < 0 f(0) = 0 f(x ) = x² ln x si x > 0

1) a) Montrer que , pour x < 0, f est dérivable , et calculer sa dérivée sur ]- ; 0[. Présiser le signe de f ’(x). b) Montrer que, pour x > 0, f est dérivable , et calculer sa dérivée sur ]0 ; + [. Présiser le signe de f ’(x). c) Calculer et
En déduire que que f est dérivable en 0 et préciser f ’(0).
d) La fonction f est-elle continue sur IR ?

2) Calculer les limites de f(x) lorsque x tend vers -  et lorsque x tend vers + .
3) Dresser le tableau de variation de f.
4) Construire la courbe ( Cf ) représentative de f dans un repère orthonormé (unités : 4 cm ).
5) On se propose de calculer I = et J =
Justifier que ces intégrales existent.

Pour tout X IR on pose : I(X) = et J(X) = On admettra que I = I(X) et J = J(X)
Calculer I(X) et J(X), et en déduire I et J 6) Déduire, de la question précédente,l’aire en cm ² du domaine du plan compris entre (Cf) ,l’axe des abscisses, et les droites d’équations respectives x = - et x = 1

Exercice 3 :( 5 points)
On considère la suite I définie par : I0 = et pour tout entier n ≥ 1 par : In =
1) a) Calculer .
b) Montrer que pour tout x [0 ;1] , 1≤ ex ≤ e En déduire que pour tout entier n ≥ 1 on a : .

c) Montrer que la suite I est convergente et déterminer sa limite.

2) a) Calculer I0 ; puis I1 à l’aide d’une intégration par parties.
b) Etablir, en intégrant par parties, que pour tout entier n ≥ 1 on a : In+1 – In = (1)
3) On pose pour tout entier n ≥1 : Jn = 1 + +…..+ . a) En utilisant la realtion (1) exprimer Jn à l’aide de I0 et In. b) En déduire la limite J de la suite (Jn). c) Justifier l’encadrement :

Exercice 4: ( 5 points)

1) On considère le polynome P définie par :