Euclide

Livre 7

Proposition I

Euclide explique dans la première proposition du livre 7 des éléments d’Euclide, comment on peut découvrir que deux nombres sont premiers entre eux. Il décrit les unités toujours dans la forme des lignes, parce que chaque ligne est un ensemble de nombres. Pour visualiser ses explications, il montre avec des opérations comme mésurer et rétrancher comment on peut trouver les unités ou les différents attributs et les relations entre les différents nombres, qui sont ici en forme des lignes.
Il explique que la ligne plus petite n’est pas un multiple qui mesure exactement la plus grande. Donc il va rester un reste qui ne mesure pas le grandeur qui était avant lui. C’est déjà l’indice que nous avons deux nombres qui sont premiers entre eux, parce que le lois de la divisibilité dit exactement que deux nombres a et b n’est sont pas premiers entre eux, si a divise b tel que k fois a est égal à b. Mais il montre que nous n’avons pas un k qui peut multiplier la ligne plus petite qui serait a dans notre exemple.

Ensuite il utilise un raisonnement par absurde pour démontrer que sa proposition est correcte. Il suppose qu’il existait un nombre qui divise les deux autres nombres sans avoir un reste. Dans son exemple il utilise le mot mesurer, parce qu’il visualise son exemple avec des lignes comme j’ai expliqué en haute. Il démontre toute la démarche avec ce nombre jusqu’au moment ou il tombe sur une absurdité.
Il montre cette absurdité avec des lignes, mais il se réfère sur une définition qu’il a donné au début du septième livre.
« Un nombre est une partie d’un nombre, le plus petit du plus grand, lorsque le plus petit mesure le plus grand. »

Proposition II

Dans sa deuxième proposition du livre sept il continue avec l’explication, aussi avec la visualisation des nombres en forme de lignes, comment on peut découvrir le plus grand commun diviseur de deux nombres non premiers entr'eux. C’est la démarche pour