EXERCICES - DÉRIVÉES ET ÉTUDE DE FONCTIONS - ECG1
Exercice 1 Dans chacun des cas suivants, déterminer l’expression algébrique de la dérivée de la fonction f (on ne s’intéresse pas à l’ensemble de dérivation).
1. f (x) = p −x2 +4x +12
2. f (x) = ln(2(3+x)(4+2x))
3. f (x) = ln(ex +1)
4. f (x) = e3x −2 ex/2 −4
5. f (x) = x +2 x3 −x −6
6. f (x) = ln
(
x2 −4x +3
)
ex −e−2
7. f (x) = (1+x)2+x
8. f (x) = ln
(
x + p x2 +1
)
Exercice 2
Faire une étude complète des fonctions suivantes (domaine de définition, …afficher plus de contenu…

• x +1 > 0 ⇔ x >−1 ainsi f est définie sur ]−1;+∞[.
• f est continue sur ]−1;+∞[ en tant que produit de fonctions continues sur ]−1;+∞[.
• lim x→+∞x +1 =+∞ donc lim x→+∞ p x +1 =+∞ et lim x→+∞ ln x +1 =+∞. Ainsi lim x→+∞ f (x) =+∞
Pour tout réel x >−1 on a f (x) = (x +1)1/2 ln(x +1). lim x→−1+ x +1 = 0+ et lim
X→0+
X 1/2 ln(X ) = 0 par conséquent lim x→−1+ f (x) = 0.
On peut donc prolonger la fonction f en −1 en posant f (−1) = 0.
• La fonction f est dérivable sur ] − 1;+∞[ en tant que produit de fonctions dérivables sur
]−1;+∞[.
Pour tout réel x >−1 on a f ′(x) = 1
2
p x +1 ln(x +1)+p x +1× 1 x +1
= ln(x +1)
2
p x +1
+ 1p x +1
= ln(x +1)+2
2
p x +1
Le signe de f ′(x) ne dépend donc que de celui de ln(x +1)+2.
Or ln(x +1)+2 = 0 ⇔ ln(x +1) =−2 ⇔ x +1 = e−2 ⇔ x = e−2 …afficher plus de contenu…

La droite d’équa- tion y = 2x est une asymptote oblique à la courbe en +∞.
• g est dérivable sur ]−∞;−1[∪]1;+∞[ en tant que somme et composée de fonctions dérivables sur ]−∞;−1[∪]1;+∞[.
Pour tout réel x ∈]−∞;−1[∪]1;+∞[ on a g ′(x) = 1+ xp x2 −1
=
p x2 −1+xp x2 −1
Lycée Saint-Joseph du Loquidy - ECG 1 - 2022/2023Dérivées et étude de fonctions 4
Donc si x > 1 alors g ′(x) > 0 (somme et quotient de termes positifs).
On a également g ′(x) = x2 −1−x2 p x2 −1
(p
x2 −1−x
)
= −1 p x2 −1
(p
x2 −1−x
)
Ainsi, si x <−1 alors g ′(x) < 0 x g ′(x) g −∞ −1 1 +∞
− +
00
−1 11
+∞+∞
• lim x→−1− g ′(x) = −∞ et lim x→1+ g ′(x) = +∞ : Il y a donc deux demi-tangentes verticales à la courbe au points d’abscisses −1 et 1.
O
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