Fiche 1 de TD d’´conom´trie : L3 analyse e e

4 mai 2013

P.MENDY : Responsable et Coordinateur du cours
Rappel sur la loi Gamma
Loi
Densit´ e Γ(a, b)

f (x) =

a2 n−1 x Γ(b)

Moyenne Variance F. Caract´ristique e b a exp(−ax)

b a2 1
1−it/a

a > 0, b > 0, x ≥ 0
∫

∞

Γ(n) =

un−1 exp(−u)du = (n − 1)!

0

Exercice 1
Un ´chantillon al´atoire d’observations ind´pendantes et identiquement distribu´es est e e e e g´n´r´ par une fonction de distribution ci-dessous : e ee f (y; θ) = θ exp (−θy) avec, θ > 0; y > 0

(1)

1. Calculer l’esp´rance et la variance de y. e 2. Estimer θ par la m´thode du maximum de vraisemblance. e ˆ
3. θ est-il sans biais, efficace, convergent ?.
ˆ
4. Si θ est biais´ trouver un estimateur sans biais de θ et ´tudier son efficactit´ et sa e e e convergence.
5. On suppose que n=150 et

∑

ˆ yt = 25. Calculer la valeur de θ.

6. D´river les prpori´t´s asymptotiques de l’estimateur de θ. e ee
7. En utilisant les donn´es de 5 tester e H0 : θ = 1
H1 : θ ̸= 1
1

Exercice 2
La variable continue x a une fonction de densit´ d´finie par : e e
( 2)
1
x f (x; β) = √ exp −
2θ
2πθ

(2)

1. Calculer l’esp´rance et la variance de x. e 2. Estimer θ par la m´thode du maximum de vraisemblance. e ˆ e e
3. Donner les caract´ristiques de θ (biais, efficatit´ et convergence).
∑ 2
ˆ
4. On suppose que n=200 et xt = 110. Calculer la valeur de θ.
5. D´river les propri´t´s asymptotiques de l’estimateur de θ. e ee
6. En utilisant les donn´es de 4 tester. e H0 : θ = 0
H1 : θ ̸= 0

Exercice 3
Les ´l´ments d’une population poss`dent un caract`re X qui suit une loi de densit´ ee e e e
( 2)
2
x
2
f (x; θ) = √ o` θ > 0 u (3) x exp −
3/2
2θ
2πθ
Une suite d’exp´riences ind´pendantes a donn´ les valeurs x1 , . . . , xn e e e 1. On pose Yi = Xi2 , montrer que la variable Yi suit une distribution gamma de param`tres a = 1/θ et b = 3/2 de fonction de