7. Probème de flot à coût minimum

7.1 Graphes, graphes orientés, réseaux
• Un graphe G =(V, E) est constitué d’un ensemble non vide fini de sommets V et d’un ensemble d’arêtes E tel que chaque arête a est identifiée par une paire non ordonnée de sommets (u, v).
1

c

a
2

b d 3

V = {1, 2, 3} E = {a, b, c} a = b = (1, 2) ; c = (1, 3) ; d =(2, 3)

• Un graphe g est un sous graphe d’un graphe G si tous les sommets et toutes les arêtes de g sont aussi des sommets et des arêtes de G.

1

c b
3

1

c
3

a
2

d
G g

• Un sous graphe d’un graphe G qui contient tous les sommets de G est un graphe partiel de G.

1

c b
3

1

c

a
2

d
2

d g 3

G

• Une chaîne dans un graphe G est une suite d’arêtes distinctes a1, a2, …, ap avec la propriété qu’il existe (p+1) sommets u1, u2, …, up+1 tels que ai= (ui, ui+1).
1

c

3

a
2

b d La suite a, c est une chaîne.

• Un cycle dans un graphe G est une chaîne telle que u1 = up+1

1

c b
3

a
2

d

La suite c, b, d est un cycle.

• Un graphe G est connexe si pour tout couple de sommets distincts, il existe une chaîne les reliant.

1

c b
3

a
2

d

Ce graphe est connexe.

• Un arbre est un graphe connexe sans cycle

Propriété : Un arbre ayant n sommets comporte exactement (n – 1) arêtes

• Un arbre partiel ( arbre de recouvrement) d’un graphe connexe G est un graphe partiel de G qui est un arbre

1

c b
3

1

c

a
2

d
2

d

3

G

arbre partiel

• Un cycle fondamental par rapport à un arbre partiel est un cycle formé d’une arête du graphe ne se trouvant pas sur l’arbre partiel et d’arêtes de l’arbre.
1

c b

1 3 2

c

a
2

d

d

3

G

arbre partiel

• Un cycle fondamental par rapport à un arbre partiel est un cycle formé d’une arête du graphe ne se trouvant pas sur l’arbre partiel et d’arêtes de l’arbre.
1

c b

1 3

c

a
2

a

d

d
2

3

G

cycle