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§1

DIVISION D’UN POLYNÔME PAR UN POLYNÔME

Soit p( x) et d ( x) deux polynômes (d ( x) ≠ 0). Diviser p( x) par d ( x), c’est trouver deux polynômes q( x) et r ( x) vérifiant : (1) (2)

p( x) = d ( x) ⋅ q( x) + r ( x) degré de r ( x) < degré de d ( x)

Le polynôme p( x) est appelé le dividende, le polynôme d ( x) est appelé le diviseur. Le polynôme q( x) est appelé le quotient de la division de p( x) par d ( x) et le polynôme r ( x) est appelé le reste de la division de p( x) par d ( x). Si r ( x) = 0, on dit que p( x) est divisible par d ( x). Théorème (sans démonstration) Les polynômes q( x) et r ( x) vérifiant (1) et (2) existent et sont uniques. Algorithme de division Marche à suivre 1) Ordonner le dividende et le diviseur selon les puissances décroissantes de la variable. 2) Diviser le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur; on obtient ainsi le premier terme du quotient. 3) Multiplier le diviseur par le terme trouvé et retrancher ce produit du dividende. Ce calcul fournit le premier reste partiel de la division. 4) Recommencer le procédé en prenant le premier reste partiel pour nouveau dividende. Le degré des restes partiels successifs va en diminuant. Le processus s’arrête lorsque le reste est nul ou lorsque le degré du reste est strictement inférieur à celui du diviseur.

Exemples 1) Trouver q( x) et r ( x) si p( x) = 2 x3 + x 2 − 5x + 5 et d ( x) = x −1.

1

2)

Effectuer la division de f ( x) = x4 + x2 + 2 x + 2 par g ( x) = x2 − x + 1.

2

Définition L’égalité p( x) = d ( x) ⋅ q( x) + r ( x) s’appelle l’égalité fondamentale de la division de p( x) par d ( x). Exemple Écrire l’égalité fondamentale de la division de p( x) = x3 + x + 1 par d ( x) = x2 + 1.

Théorème du reste Le reste de la division d’un polynôme p( x) par x − c est le nombre p(c).