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  • Publié le : 28 mars 2011
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§1

DIVISION D’UN POLYNÔME PAR UN POLYNÔME

Soit p( x) et d ( x) deux polynômes (d ( x) ≠ 0). Diviser p( x) par d ( x), c’est trouver deux polynômes q( x) et r ( x) vérifiant : (1) (2)

p( x) = d ( x) ⋅ q( x) + r ( x) degré de r( x) < degré de d ( x)

Le polynôme p( x) est appelé le dividende, le polynôme d ( x) est appelé le diviseur. Le polynôme q( x) est appelé le quotient de la division de p( x) par d ( x) et le polynôme r ( x) est appelé le reste de la division de p( x) par d ( x). Si r ( x) = 0, on dit que p( x) est divisible par d ( x). Théorème (sans démonstration) Les polynômes q( x) et r ( x) vérifiant (1)et (2) existent et sont uniques. Algorithme de division Marche à suivre 1) Ordonner le dividende et le diviseur selon les puissances décroissantes de la variable. 2) Diviser le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur; on obtient ainsi le premier terme du quotient. 3) Multiplier le diviseur par le terme trouvé et retrancher ce produit du dividende. Ce calcul fournit le premierreste partiel de la division. 4) Recommencer le procédé en prenant le premier reste partiel pour nouveau dividende. Le degré des restes partiels successifs va en diminuant. Le processus s’arrête lorsque le reste est nul ou lorsque le degré du reste est strictement inférieur à celui du diviseur.

Exemples 1) Trouver q( x) et r ( x) si p( x) = 2 x3 + x 2 − 5x + 5 et d ( x) = x −1.

1

2)Effectuer la division de f ( x) = x4 + x2 + 2 x + 2 par g ( x) = x2 − x + 1.

2

Définition L’égalité p( x) = d ( x) ⋅ q( x) + r ( x) s’appelle l’égalité fondamentale de la division de p( x) par d ( x). Exemple Écrire l’égalité fondamentale de la division de p( x) = x3 + x + 1 par d ( x) = x2 + 1.

Théorème du reste Le reste de la division d’un polynôme p( x) par x − c est le nombre p(c).PREUVE

3

Exemple Trouver le reste de la division de p( x) = x3 − 2 x 2 + 1 par x + 1.

Corollaire Le polynôme p( x) est divisible par x − c si et seulement si p(c) = 0. PREUVE

Exemple Montrer que le polynôme p( x) = 2 x3 + 5x2 −13x + 6 est divisible par x − 1.

4

§2

ÉQUATIONS POLYNOMIALES

Pour résoudre une équation polynomiale, on adoptera cette marche à suivre :

1° 2° 3°Écrire l’équation sous la forme p( x) = 0, où p( x) est un polynôme. Factoriser p( x) (si possible !) en facteurs du premier degré ou du deuxième degré. Pour chaque facteur f ( x), résoudre l’équation f ( x) = 0.

Exemples 1) Résoudre l’équation ( x − 1)2 (2 x + 4) = 2( x −1)( x + 2) (1)

2)

Résoudre l’équation x3 + 2 x2 = 4 x −1 (1)

sachant que 1 est une solution.

5

DéfinitionLes zéros d’un polynôme p( x) sont les solutions de l’équation p( x) = 0. Théorème "des suspects" Soit p ( x) = an x n + an −1 x n −1 +  + a1 x + a0 un polynôme de degré n ( an ≠ 0) à coefficients entiers.
Si x0 est un zéro entier non nul du polynôme p( x), alors x0 divise a0 . PREUVE

6

Exemple
Résoudre l’équation x3 − x2 − 7 x + 3 = 0 (1)

7

§3

INÉQUATIONS POLYNOMIALES

Pourrésoudre une inéquation polynomiale, on adoptera cette marche à suivre :



Écrire l’inéquation initiale sous la forme p( x) > 0 ou p( x) < 0 ou p( x) ≥ 0 ou p( x) ≤ 0, où p( x) est un polynôme. Factoriser le polynôme p( x). Faire un tableau des signes pour le polynôme p( x). (Pour ce faire, on doit d’abord trouver les zéros de p( x).)

2° 3°

Exemples
1) Résoudre l’inéquation (2 x − 1)(1− x)( x2 + 1) < 0 (1)

8

2)

Résoudre l’inéquation x3 − 2 x 2 ≥ 5 x − 6 (1)

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Exercices
Voici des exercices concernant la division euclidienne de polynômes et la résolution d’équations polynomiales. D’autres exercices, concernant notamment les inéquations polynomiales, seront choisis dans l’ouvrage de la CRM (le livre rouge).

1.

Effectuer la division euclidienne de A par...
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