Fonctions polynômes du 2nd degré
Définition : Une fonction f définie sur R est une fonction polynome du 2nd degré s’il existe des réels a, b et c (a≠0) tel que pour tout réel x∈R f(x)=ax^2+bx+c "(Forme développée)" Exemple :
Soit x∈R f(x)=5x^2+3x+6  Polynôme du 2nd degré g(x)=x+1  1er degré h(x)=5x^3+3x+6  3ème degré f(x)=ax^2+bx+c f(x)=a[x^2+b/a x]+c x^2+b/a x+b²/4a²=(x+b/2a)² f(x)=[(x+b/2a)^2-b^2/(4a^2 )]+c f(x)=a(x+b/2a)^2-b^2/4a+c f(x)=a(x+b/2a)^2-b^2/4a+(c "x " 4a)/4a f(x)=a(x-(-b/2a))^2-(b^2-4ac)/4a

On pose ∆=b^2-4ac. Ce nombre ∆ est appelé le discriminant du trinôme ax+bx+c. On obtient ainsi la forme canonique de f : f(x)=a(x-((-b)/2a))^2-∆/4a Exemple :
Pour tout réel x, f(x)=-2x^2+12x-14. On calcule le discriminant de f : a=-2 b=12 c=-14 〖12〗^2-4*(-2)*(-14)=144-112=32
On calcule (–b)/2a "et " (-∆)/4a (-b)/2a=(-12)/(2*(-2))=(-12)/(-4)=3 (-∆)/4a=(-32)/(4*(-2))=(-32)/(-8)=4

On obtient ainsi : f(x)=-2(x-3)^2+4

Proposition Dans un repère orthonormé, la courbe représentative P de f est une parabole, de sommet ( -b/2a ; -∆/4a ), et qui admet pour axe de symetrie la droite d’équation x=(-b)/2a
Remarque
On peut aussi écrire la forme canonique de f de la manière suivante f(x)=a(x-α)^2+β Dans ce cas, le sommet de P a pour coordonnées ( α ; β ) et la droite d’équation x=α est l’axe de symétrie.
Résolution de ax^2+bx+c=0 "avec " a≠0
Résoudre ax^2+bx+c=0 revient à résoudre f(x)=a(x-((-b)/2a))^2-∆/4a=0 ⟺a[(x+b/2a)^2-∆/(4a^2 )]=0 ⟺(x+b/2a)^2-∆/4a²=0 Car a≠0 ⟺(x+b/2a)^2=∆/4a²

Cas n°1 : Si ∆