ETUDES DE FONCTIONS

I. Fonctions polynômes de degré 2

1. Définition

Une fonction polynôme de degré 2 f est définie sur ℝ par , où a, b et c sont des nombres réels donnés et a  0.

Exemples :
. On a : a = 5, b = -4 et c = 9.
. On a : a = -1, b = 4 et c = 0.
La fonction carré est une fonction polynôme particulière telle que : a = 1, b = 0 et c = 0.
.
En effet : .
On a : a = 3, b = -5 et c = -2.

On peut tracer la courbe représentative d'une fonction polynôme à l'aide de la calculatrice graphique. Il s'agit d'une parabole.

« Jesus dit à ses disciples y2 = 2px. Ils ne comprirent pas, c’était une parabole. » Citation apocryphe
Le mot vient du grec « parabolê » qui signifiait l’action de jeter à côté : « para » pour à côté et « bolein » pour jeter.

2. Variations

Propriétés :
Soit f une fonction polynôme de degré 2, telle que.
- Si a est positif, f est d’abord décroissante, puis croissante.
- Si a est négatif, f est d’abord croissante, puis décroissante.

a > 0 a < 0

Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
Ex 1 à 3 (page7) p117 n°1, 3 p120 n°31
Ex 4 à 11 (page7 et 8) p117 n°12, 14, 13* ; p118 n°18* p121 n°40*
Tableaux de var. de fonctions du second degré données.

Ex 1 à 3 (page7) p134 n°1 à 3 p136 n°32
Ex 4 à 11 (page7 et 8) p138 n°42, 44, 43* p138 n°48* p140 n°63*
Tableaux de var. de fonctions du second degré données.

ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014

3. Extremum

La courbe représentative de f est une parabole qui admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées.

Définition :
Le point de la courbe qui correspond au maximum ou au minimum est appelé le sommet de la parabole.

Exemple :
La fonction f définie sur ℝ par admet un maximum.
En effet, le coefficient devant x2 est négatif, f est d’abord croissante, puis décroissante.

Propriété :
Soit f une