T ale BT S DOM OT IQU E

Mardi 22 septembre 2009

NOMBRES COMPLEXES

Devoir Surveillé n 1
˚

 Exercice 1 (Un soupçon de calcul dans C pour se mettre en appétit ...)
1. Résoudre dans C l’équation z 2 − 8z + 19 = 0.
√
√
3
′ d’affixes respectives z = 4 − 3i et z ′ = − 1 +
2. On considère z et z
i.
2
2
Calculer les nombres complexes suivants :
(a) 4zz ′

(b) z 3

(c)

z z′  Exercice 2 (... de la linéarisation pour continuer ...)
On considère la fonction f définie sur R par f (x) = cos(x) × sin(2x) × cos(3x).

1. En utilisant les formules d’Euler, montrer que l’expression f (x) peut s’écrire f (x) =

1 6ix e − e−6ix + e4ix − e−4ix − e2ix + e−2ix .
8i

2. En déduire une écriture de f (x) sous la forme d’une somme de fonctions trigonométriques.
3. Donner alors une primitive F de la fonction f sur R.

 Exercice 3 (... et pour terminer, un peu de géométrie !)
→ →
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (O; − ; − ) d’unité graphique 2 cm. u v
√
1. Soit A le point d’affixe zA = 1 + i 3.
(a) Déterminer le module et un argument du nombre complexe zA .
(b) Écrire zA sous forme exponentielle.
→ →
(c) Placer le point A d’une manière précise dans le repère (O; − ; − ). u v
2. Soit B le point d’affixe zB = 2e

2iπ
3

.

(a) Écrire le nombre complexe zB sous forme algébrique.
→ →
(b) Placer le point B dans le repère (O; − ; − ). u v
3. Montrer que le triangle AOB est équilatéral. π 4. Soit C le point d’affixe zC = zA ei 4 .
(a) Écrire le nombre complexe zC sous forme algébrique.
(b) Écrire le nombre complexe zC sous forme exponentielle, puis trigonométrique.
7π
7π
(c) Déduire des questions précédentes les valeurs exactes cos et de sin
.
12
12
→ →
(d) Placer le point C dans le repère (O; − ; − ). u v

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Mardi 22 septembre 2009

NOMBRES COMPLEXES

Correction DS n 1
˚

 Exercice 1
√ 2
1. ∆ = b2 − 4ac = (−8)2 − 4 ×