Nombres complexes
Définition - Propriétés
Un nombre complexe z s'écrit de façon unique sous la forme a + bi ; a ∈ IR , b ∈ IR On dit que a + bi est la forme algébrique du nombre complexe z. a est la partie réelle de z, on note a = Re(z) b est la partie imaginaire de z, on note b = Im(z). Le nombre complexe i est tel que i 2 = - 1. Les complexes de la forme bi avec b ∈ IR, sont appelés imaginaires purs. Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.

Module et conjugué d'un nombre complexe
On appelle module du nombre complexe z = a + bi , a ∈ IR , b ∈ IR, le réel positif |z| = |z| = 0 ⇔ z = 0 |zz'| = |z|.|z'| a2 + b 2 . ; ; |- z| = |z| 1 = 1 |z| z ; ; |z + z'| £ |z| + |z'| z = |z| z' |z'|

On appelle conjugué du nombre complexe z = a + bi , a ∈ IR , b ∈ IR,  le nombre complexe z = a - bi .    1= z z =z ; | z | = |z| ; Si z # 0 • z |z|2   • z. z = |z|2 (donc z. z est un réel positif) • z + z' = z + z'
 

Équation du second degré à coefficients réels
L'équation az2 + bz + c = 0, où a, b et c sont des réels (avec a # 0) admet dans C deux solutions (éventuellement confondues). I Soit ∆ = b2 - 4ac le discriminant de l'équation. ∆ est un nombre réel. • si ∆ ³ 0 , les deux solutions sont réelles z1 = -b - ∆ et z2 = -b + ∆ 2a 2a • si ∆ £ 0 , on peut écrire ∆ = (i δ)2 avec δ ∈ IR, les deux solutions sont alors des nombres complexes, (conjugués l'un de l'autre) et z2 = -b + i δ z1 = -b - i δ 2a 2a Le trinôme az2 + bz + c se factorise sous la forme a(z - z1)(z - z2)

; ;

z - z' = z - z' ;





zz' = z . z'



• Si z' # 0

1 = 1 z' z'


z = z z' z'




• Re(z) = z + z ; Im(z) = z - z 2 2i  ; • z est réel ⇔ z = z
→ →

z est imaginaire pur ⇔ z = - z



Si M a pour affixe z et si M' a pour affixe z' alors OM = |z| et MM' = |z' - z| Si V a pour affixe z , alors

|| V || = |z|.

Représentation géométrique d'un nombre complexe
Dans le plan rapporté à