La suite de fibonacci

I. Présentation

La suite de Fibonacci tient son nom du mathématicien italien Leonardo Fibonacci, qui a vécu à Pise au XIIème siècle (1175-1240), d'où son nom de Léonard de Pise, en référence à Léonard de Vinci.

La suite de Fibonacci se construit facilement : chaque terme de la suite, à partir du rang 2, s'obtient en additionnant les deux précédents, les deux premiers termes étant 0 et 1. Le troisième terme est donc 1 (0 + 1 = 1), le quatrième terme 2 (1 + 1 = 2), le cinquième 3 (1 + 2 = 3), le sixième 5 (2 + 3 = 5), et ainsi de suite. Le début de la suite du célèbre mathématicien Fibonacci est donc : 0, 1, 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13, 21 ...

Appelons (un) la suite de Fibonacci. On a donc u0 = 0 ; u1 = 1 et pour tout n entier naturel, on a alors un+2 = un+1 + un.

Chaque terme de cette suite, à partir du rang 2, est donc la somme des deux termes précédents.

II. La suite de Fibonacci n'est ni arithmétique, ni géométrique.

En effet, u1 − u0 = 1 − 0 = 1 et u2 − u1 = 1 − 1 = 0. La différence entre deux termes consécutifs de cette suite n'est pas constante donc la suite de Fibonacci n'est pas arithmétique.

Son premier terme étant 0, elle ne peut être géométrique. On remarque également par exemple que u4/u3 = 3/2 et que u5/u4 = 5/3. En définissant une suite en prenant les termes de la suite de Fibonacci à partir du terme de rang 2, on obtient donc une suite qui n'est pas géométrique : le rapport entre 2 termes consécutifs de cette suite n'est pas constant.

III. Calcul des termes de la suite Fibonacci

En calculant les termes de la suite, on constate que les termes de la suite de Fibonacci sont très rapidement élevés. En effet, voici les 52 premiers termes que l'on obtenir facilement avec un tableur comme excel :

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887,