Fonction caractéristique (probabilités)
En théorie des probabilités et en statistique, la fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle X détermine de façon unique sa loi de probabilité. Si cette variable aléatoire a une densité alors la fonction caractéristique est la transformée de Fourier de la densité. Les valeurs en zéro des dérivées successives de la fonction caractéristique permettent de calculer les moments de la variable aléatoire. Elle est parfois appelée première fonction caractéristique alors que la seconde fonction caractéristique qui en est la transformée logarithmique, est la fonction génératrice des cumulants.
Définition
La fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle X est la fonction à valeurs complexes définie sur par

Si cette variable aléatoire possède une densité, disons fX, alors

Ainsi, dans le cas d'une variable aléatoire à densité, la fonction caractéristique est la transformée de Fourier (à un facteur 2π près suivant la convention) de la densité. Probablement pour cette raison, il arrive que l'on choisisse une convention différente, à savoir
Plus généralement, la fonction caractéristique d'une variable aléatoire X à valeurs dans est la fonction à valeurs complexes définie sur par

où est le produit scalaire de u avec X.
Lorsque la variable aléatoire X est discrète, on définit sa fonction génératrice par

avec z complexe (quand cela a un sens). Avec les notations précédentes on a donc

cette fonction G est donc en fait un prolongement de φX.
Propriétés
Elle détermine de façon unique la loi d'une variable aléatoire au sens où φX=φY (égalité de fonctions) équivaut à « X et Y ont la même loi. »
Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, φX+Y=φXφY. Plus généralement, si sont des variables aléatoires indépendantes dans leur ensemble, alors φX1+...+Xn=φX1...φXn.

En appliquant alors la transformée de Fourier à φX+Y cela permet de retrouver la loi de X+Y.

Il y a aussi une relation