Les limites

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Fiche Cours

Nº : 22001

MATHEMATIQUES

Série ES

LE TALENT C’EST D’AVOIR ENVIE

Thème : Limites, asymptotes, nombre dérivé, fonction dérivée

Fiche 1 : Limites d’une fonction

Plan de la fiche
I - Notations et formes indéterminées (FI) II - Limites de référence III - Tableau récapitulatif des résultats généraux en fonction de l’expression de f (x) IV - Fonctions classiquesdonnant lieu aux quatre FI V - Limites d’une fonction composée VI - Limites et ordre Ce premier chapitre rappelle utilement, de façon chronologique et résumée, les notions et outils de base relatifs aux études de fonctions ainsi qu’aux propriétés de leurs courbes représentatives. Il constitue donc une part importante de la culture générale dont doit disposer l’élève en abordant le programme determinale, ainsi que le répertoire des bons réflexes qu’il est souhaitable d’avoir devant les thèmes abordés ci-dessous.

I - Notations et formes indéterminées (FI)
Une fonction f étant donnée, d’ensemble de définition E f , la notation lim f (x) = b signifie : quand x s’approche, en valeurs, x→a infiniment près de a, l’image f (x) s’approche, en valeurs, infiniment près de b… Signalons très vite quea peut être un réel, appartenant à E f ou pas, ou l’infini, et il en est de même pour b. On peut donc fort bien rencontrer les limites suivantes (correctes) :
lim f (x) = 5, pour, par exemple, f (x) = x + 2 x2 − 9 lim f (x) = 6, pour, par exemple, f (x) = x − 3 x→3 x 2 − 5x + 2 lim f (x) = + ∞, pour, par exemple, f (x) = x −3 x → −∞ 3x − 1 lim f (x) = +∞, pour, par exemple, f (x) = x − 2 (lanotation 2+ sous lim signifie que x > 2 ; x → 2+
x→3

si x tendait vers 2 par valeurs inférieures à 2, on aurait noté 2-) 2x − 1 lim f (x) = 2, pour, par exemple, f (x) = x + 3 , etc. x → +∞ Formes dites « indéterminées » (FI) : quand x tend vers a (réel ou infini), il arrive que, selon l’expression de f (x), on ne sache pas a priori vers quoi va tendre ce dernier. Il y a quatre formesindéterminées à connaître : ce vers quoi tend f (x) se présente sous la forme : ∞ – ∞, ∞ , 0 , 0 × ∞ ∞ 0

► À SAVOIR
On doit le plus souvent dire formes a priori indéterminées car – heureusement ! – on verra que le cours fournit toujours la bonne règle, l’astuce pour les résoudre (on dit « lever » une indétermination). Attention, par ailleurs, à ne pas considérer certaines formes comme indéterminées alorsqu’elles ne le sont pas : " réel ≠ 0 ", " réel ≠ 0 ", " ∞ " etc. (cf. tableau 1 page suivante) ∞ 0 réel

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Fiche Cours

Nº : 22001
II - Limites de référence

MATHEMATIQUES

Série ES

LE TALENT C’EST D’AVOIR ENVIE

On admettra les résultats suivants, intuitivement évidents, pourn entier naturel non nul :
lim x n = ∞ , de même que xlim x = + ∞ →+ ∞
x →∞

lim
x →∞ x →0

1 = 0 , de même que lim 1 = 0 x →+ ∞ xn x
x →0

lim x n = 0 , de même que lim x = 0 + 1 lim n = ∞ , de même que lim 1 = + ∞ x →0 x x →0 + x

► À SAVOIR
Quand le résultat est infini (∞) l’élève saura aisément le signe qu’il convient de placer devant : 1 lim 2 = + ∞ , lim x 3 = − ∞ , etc. x →− ∞x →0 x


III - Tableau récapitulatif des résultats généraux en fonction de l’expression de f (x)
Soient deux fonctions g et h, de la même variable x. On sait que lim g (x) = b x →a
lim h (x) = b’, a , b et b’ pouvant être réels ou infinis. On s’intéresse à lim f (x) quand f est définie par f (x) = g (x) + h (x), ou x →a x →a g(x ) f (x) = g (x) · h (x), ou f (x) = h ( x ) . On a alors letableau : f=g+h b IR, b’ IR* b IR*, b’ = 0 b = 0 , b’ = 0 b = ∞, b’ IR* b = ∞, b’= 0 b IR*, b’= ∞ b = 0 , b’ = ∞ b = + ∞, b’= + ∞ b = + ∞, b’= – ∞ b = – ∞, b’= – ∞ l = b + b’ l=b l=0 ∞ ∞ ∞ ∞ +∞ ? –∞ f=g·h l = bb’ l=0 l=0 ∞ ? ∞ ? +∞ –∞ +∞ g f= h b l = b' l=∞ ? ∞ ∞ 0 0 ? ? ?

Tab. 1 Tableau récapitulatif des limites d’une opération de fonctions Ici, les « ? » indiquent une forme indéterminée ;...
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