NOMBRES COMPLEXES

INTRODUCTION ET DEFINITION INTRODUCTION
Rappelons les inclusions des ensembles des nombres suivants : NC Z C ID C Q C R
Considérons l’équation (E) : x2 + 1 = 0.
Certaines équations comme (E) n’admettent pas de solution dans R, ce qui explique « l’insuffisance » de R. Le but de ce chapitre est de construire, un nouvel ensemble contenant IR dans lequel toute équation du 2nd degré admet au moins une solution.
Imaginons l’existence d’un nombre i tel que : i2 = -1, l’équation (E) devient alors : x2= i2,soit x = i ou x = - i.
Ces nombres non réels sont des nombres complexes. DEFINITION
On appelle corps des nombres complexes, et on note C, un ensemble contenant IR tel que : Il existe dans C un élément noté i, tel que : i2 = -1 ; Tout élément de C s’écrit sous la forme : z = a + ib, où a et b sont des nombres réels. C est muni d’une addition et d’une multiplication qui prolongent l’addition et la multiplication de R et qui suivent les mêmes règles. FORME ALGEBRIQUE D’UN NOMBRE COMPLEXE Définition
L’écriture z = a + ib , où a et b sont des réels est appelée forme algébrique du nombre complexe z. Le réel a est appelé partie réelle de z notée Re(z)) ; Le réel b est appelé partie imaginaire de z, notée Im(z).
Exemple : i, -i , -1/2-i √3/2 sont des formes algébriques de nombre complexe, cependant :
-1 + i (2 –i) est un nombre complexe qui n’est pas sous sa forme algébrique.
Nombres complexes particuliers
Soit z ∈ C , z = a + ib Si b = 0 ; on z = a ∈ IR (R C C ) ; SI a = 0 ; on a : z = bi. On dit que z est un imaginaire pur, l’ensemble des imaginaires purs est noté iR iR, ie iR ={ib / b ∈ R } Propriétés
Soit z un nombre complexe, z∈IR □( ) Im(z)=0 Application 1 : Soit z=(x^3-8)+i(x^2+1) où x ∈R Pour quelle valeur de x, z est réel ? Peut – on trouver x pour que ?

Représentation géométrique d’un nombre complexe Calculs dans C
Soit z = a + ib et z’ = a’ + ib’ deux nombres complexes, on a