Les suites maths

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  • Publié le : 8 janvier 2010
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I. Généralités sur les suites
Dans tout le cours, on considère des suites (un)définies sur \mathbb{N} les entiers naturels.
1. Suites croissantes, suites décroissantes
Définitions
Une suite (un)est croissante si pour tout entier n, un infegal un+1.
Une suite (un) est décroissante si pour tout entier n, un supegal un+1.
Méthode :
Pour étudier le sens de variation d'une suite (un), onétudie le signe de la différence un+1 - un.
Si tous les un sont strictement positifs, on compare Un+1/Un et 1.
Théorème
Soit (un) une suite définie par un = f(n), avec f définie sur [0; +00[
Si f eststrictement croissante, alors (un) est strictemnt croissante.
Si f est strictement décroissante, alors (un) est strictemnt décroissante.
Démonstration :
* cas où f est strictement croissante :Pour tout entier naturel n, la fonction f est strictement croissante, donc : f (n + 1) > f (n)
D'où : pour tout entier naturel n, un+1 > un.
La suite (un) est donc strictement croissante.
* cas où fest strictement decroissante :
Pour tout entier naturel n, la fonction f est strictement décroissante, donc : f (n + 1) < f (n)
D'où : pour tout entier naturel n, un+1 < un.
La suite (un) est doncstrictement décroissante.
Ce théorème ne s'applique pas si la suite (un) est définie par récurrence (un+1 = f(un)). Les variations de la fonction f et de la suite (un) ne sont pas toujours les mêmes.II.Suites Arithmétiques
1. Définition
Définition :
Une suite (un) est arithmétique si il existe un réel r tel que pour tout entier naturel n, un+1 = un + r.
r est appelé raison de la suite.2. Calcul de Un
Théorème :
Si (un) est une suite arithmétique de raison r, alors pour tous les entiers naturels n et p, on a :
un = u0 + nr et un = up + (n - p) r.

3. Somme des n premierstermes
Cas particulier :
La somme des n premiers entiers naturels non nuls est égale à n(n + 1)/2

III. Suites géométriques
1. Définition
Définition :
Une suite (un) est géométrique si il existe...
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