Les suites

I – Comportement d’une suite

Définitions : • Dire qu’une suite [pic] est croissante signifie que pour tout naturel n, [pic]. • Dire qu’une suite [pic] est décroissante signifie que pour tout naturel n, [pic]. • Dire qu’une suite [pic] est monotone signifie qu’elle est soit croissante soit décroissante.

Remarques :n • On parle aussi de suite [pic] croissante à partir d’un rang [pic] : pour tout naturel [pic] alors [pic]. • On définit aussi les suites strictement croissantes.

Exemples : • Signe de [pic] : [pic] est définie par [pic] ; [pic], [pic]. Pour tout naturel n : [pic]. Donc pour tout n : [pic], i.e. [pic] est décroissante. • Pour une suite [pic] à termes strictement positifs : comparer [pic] et 1. [pic] est définie par [pic] pour tout naturel n. Pour tout naturel n : [pic] et [pic]. Donc [pic] pour tout n, i.e. [pic] est strictement croissante. • Pour une suite [pic] définie par [pic] : étude de f. [pic] est définie pour tout naturel n par [pic]. La fonction f définie sur + par [pic] est strictement croissante. Donc [pic] est strictement croissante. • Par récurrence : [pic] est définie par [pic] ; [pic], pour tout naturel n. ➢ Cas de base : [pic] donc [pic]. ➢ On suppose pour un certain naturel n on a [pic] (HR). On veut montrer l’égalité au rang [pic] i.e. que [pic]. [pic]. HR Autre méthode : [pic] donc [pic] donc [pic] donc [pic]. Donc pour tout naturel n, [pic] i.e. [pic] est strictement croissante.

Définitions : • Dire qu’une suite [pic] est majorée signifie qu’il existe un réel M (un majorant) tel que pour tout naturel n, [pic]. • Dire qu’une suite [pic] est minorée signifie qu’il existe un réel m tel que pour tout naturel n, [pic]. • Dire qu’une suite [pic] est bornée signifie qu’elle est majorée et minorée.