Les suites

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 4 (805 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 31 octobre 2011
Lire le document complet
Aperçu du document
Les suites

I – Comportement d’une suite

Définitions :
• Dire qu’une suite [pic] est croissante signifie que pour tout naturel n, [pic].
• Dire qu’une suite [pic] est décroissantesignifie que pour tout naturel n, [pic].
• Dire qu’une suite [pic] est monotone signifie qu’elle est soit croissante soit décroissante.

Remarques :n
• On parle aussi de suite [pic] croissanteà partir d’un rang [pic] : pour tout naturel [pic] alors [pic].
• On définit aussi les suites strictement croissantes.

Exemples :
• Signe de [pic] :
[pic] est définie par [pic] ;[pic], [pic].
Pour tout naturel n :
[pic].
Donc pour tout n : [pic], i.e. [pic] est décroissante.
• Pour une suite [pic] à termes strictement positifs : comparer [pic] et 1.[pic] est définie par [pic] pour tout naturel n.
Pour tout naturel n : [pic] et [pic].
Donc [pic] pour tout n, i.e. [pic] est strictement croissante.
• Pour une suite [pic]définie par [pic] : étude de f.
[pic] est définie pour tout naturel n par [pic].
La fonction f définie sur + par [pic] est strictement croissante. Donc [pic] est strictement croissante.• Par récurrence :
[pic] est définie par [pic] ; [pic], pour tout naturel n.
➢ Cas de base : [pic] donc [pic].
➢ On suppose pour un certain naturel n on a [pic] (HR). Onveut montrer l’égalité au rang [pic] i.e. que [pic].
[pic].
HR
Autre méthode : [pic] donc [pic] donc [pic] donc [pic].
Donc pourtout naturel n, [pic] i.e. [pic] est strictement croissante.

Définitions :
• Dire qu’une suite [pic] est majorée signifie qu’il existe un réel M (un majorant) tel que pour tout naturel n, [pic].• Dire qu’une suite [pic] est minorée signifie qu’il existe un réel m tel que pour tout naturel n, [pic].
• Dire qu’une suite [pic] est bornée signifie qu’elle est majorée et minorée....
tracking img