Limites, continuité dérivabilité Pascal Lainé 1 Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis
I Limites Continuités
Exercice 1 : Soit 𝑓 : ]−1,+∞[ → ℝ la fonction définie par :
𝑓(𝑥) =
𝑥
√1 + 𝑥2 − √1 + 𝑥 Déterminer les limites de 𝑓, si elle existent, en 0 et en +∞.
Allez à : Correction exercice 1 :
Exercice 2 :
Soit 𝑓 : ℝ∗ → ℝ la fonction définie par
𝑓(𝑥) = 𝑥𝐸 (𝑥 −
1
𝑥
)
Montrer que 𝑓 admet une …afficher plus de contenu…

Mais pour l’instant nous n’avons rien démontré.
Pour tout 𝑥 > 0 réel il existe un unique 𝑛 ∈ ℕ tel que
𝑛 ≤
1
𝑥
< 𝑛 + 1
En fait 𝑛 = 𝐸 (
1
𝑥
)
On en déduit que
1
𝑛 + 1
< 𝑥 ≤
1
𝑛 et − 𝑛 − 1 < −
1
𝑥
≤ −𝑛
On additionne ces deux inégalités
−𝑛 − 1 +
1
𝑛 + 1
< 𝑥 −
1
𝑥
≤ −𝑛 +
1
𝑛 Ce qui équivaut à
−𝑛 −
𝑛
𝑛 + 1
< 𝑥 −
1
𝑥
≤ −𝑛 +
1
𝑛 On en déduit que 𝐸 (𝑥 −
1
𝑥
) vaut – 𝑛 − 1 ou – 𝑛, ce que l’on résume …afficher plus de contenu…

−𝑛 − 1 ≤ 𝐸 (𝑥 −
1
𝑥
) ≤ −𝑛 (1)
On reprend les inégalités
1
𝑛 + 1
< 𝑥 ≤
1
𝑛 (2)
Le but est de « multiplier » les inégalités (1) et les inégalités (2), si tous les termes étaient positifs, il n’y aurait pas de problèmes mais dans les inégalités (1) les termes sont négatifs alors on va tout multiplier par −1
𝑛 ≤ −𝐸 (𝑥 −
1
𝑥
) ≤ 𝑛 + 1 (1)′
On multiplie alors les inégalités (2) par les inégalités (1)′
𝑛
𝑛 + 1
≤ −𝑥𝐸 (𝑥 −
1