chapitre

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Rappels sur les suites Récurrence

Corrigés des exercices
Pour progresser
(page 14)

Généralités sur les suites v1 = 2 et v2 = 5 . vn + 2 = 3 vn + 1 – 1 = 3(3 vn – 1) = 9 vn – 4. n+1 n–3 un + 1 = --------------------------- ; un – 3 = ------------------------------ ; 2 2 n + 2n + 5 n – 6n + 13 n u2n = ----------------- . 2n 2 + 2 2
Note : Dans les exercices 3 à 5, on applique l’une des trois méthodes décrites page 15.

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un + 1 a) un > 0 et ------------ = n + 1 > 1 : (un) est croissante. un 1 1 b) un + 1 – un = ------------------- – ----- < 0 : (un ) est décrois2 ( n + 1 ) n2 sante. 8 9 un + 1 ( n + 1 ) 2 n! ( n + 1 ) a) un > 0 et ------------ = ------------------- × ----- = ---------------- ; un ( n + 1 )! n 2 n2

si g(x) = x 2 – x – 1 ; g′(x) = 2 x – 1, donc n 2 > n + 1 dès que n 1 et (un) est croissante. (– 1) b) un + 1 – un = -------------- , donc pas de monotonie. n+1 10 Corrigé dans le manuel. 1 1 11 vn = ----------- + … + ----- , d’où : n+1 2n 1 1 1 1 vn + 1 – vn =  ----------- + … + --------------- –  ----------- + … + -----  n + 2 2n + 2  n + 1 2n 1 1 1 vn + 1 – vn = --------------- + --------------- – ----------2n + 1 2n + 2 n + 1 1 vn + 1 – vn = ----------------------------------------- > 0 ; ( 2n + 1 ) ( 2n + 2 ) (vn) est croissante. 12 a) u0 = 8 ; u1 = 8 et un = 8 pour tout n, donc (un ) est constante. 7 3 b) u0 = 2 , u1 = -- d’où u1 – u0 = -- ; 2 2 3 un + 1 – un = -- (un – un – 1) ; 4 – un) est une suite géométrique de premier n un + 1 n 2 3 a) Pour n > 0, ------------ =  -----------  < 1 : (un ) est  n + 1 un décroissante. b) un + 1 – un = crois-sante. 3n + 4 – 3n + 1 > 0 : (un) est

2x – 1 9 c) un = f (n) avec f (x) = -------------- ; f ′(x) = ------------------ > 0 . x+4 ( x + 4 )2 f est croissante, donc (un) est croissante. 4 Corrigé dans le manuel.

5 a) un + 1 – un = – 3 < 0 : (un) est décroissante. b) (un) change de signe à chaque indice, donc pas de monotonie. c) Tous les termes de la suite