Chapitre 21

Matrices
Objectifs
• Définir les matrices, le vocabulaire, les opérations sur les matrices, la structure d’espace vectoriel sur n,p ( ) et le lien avec les applications linéaires. • Définir le produit matriciel en rapport avec la composition des applications, étudier les propriétés de ce produit et les applications. Structure d’algèbre sur n ( ). • Étudier les matrices carrées inversibles : le groupe GLn ( ). • Étudier les formules du changement de bases pour les vecteurs et les applications linéaires. • Définir le rang d’une matrice, les opérations élémentaires sur une matrice (interprétation en terme de produit matriciel). Méthodes de Gauss et de Gauss-Jordan.

Sommaire
I) Matrices, liens avec les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Structure d’espace vectoriel sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 3) Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Retour aux applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) Propriétés du produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrices carrées inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Retour aux applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Matrice de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Formules du changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) Changement de bases et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . 4) Trace d’un endomorphisme . . .