CHAPITRE

2
SÉQUENCE

PGCD

Théorème de Bézout
Théorème de Gauss

1

PGCD de deux entiers naturels

(page 40)

RÉSOLUTION DE PROBLÈMES
d)

Problème 1

A

B

Q

R

1. 945 = 882 + 63 et 882 = 63 × 14.

945

882

1

63

Donc PGCD (945 ; 882) = 63 car d doit diviser 945 et 882 et la plus grande valeur de d est le PGCD des deux nombres.

882

63

14

0

« Tant que », le reste R est nul. On obtient à l’affichage la valeur commune A.
• Si A  B, le premier quotient est nul, le reste est A, donc non nul. À l’issue d’un premier passage dans la boucle, A et
B sont échangés : on repart donc avec A  B.
b) On affecte à R une valeur différente de zéro (ce qui se passe parfois à l’initialisation) afin de démarrer le passage effectif dans la boucle « Tant que ».
c) Si R ≠ 0, le couple (A ; B) est remplacé par le couple
(B ; R). Or, dans ce cas là, pgcd(A ; B) = pgcd(B ; R).
Lorsque R est nul, c'est-à-dire lorsque B divise A, le pgcd de A et B est B, que l’on lit dans la mémoire A.

EXERCICES

d est le dernier reste non nul : d = pgcd 945 ; 882) = 63.
(

3. Les diviseurs de 63 sont : 1, 3, 7, 9, 21, 63.
Il n’y a pas d’autres solutions.

Problème 2
1. b) L’ et ’ sont tels que : PGCD (L’ ; ’) = 1.
2. L = 12 L’ ;  = 12’ ;  2 L = 77 760.
Soit 144 ’ 2 × 12 L’ = 77 760 et ’ 2 L’ = 45 = 32 × 5.
D’où ’ = 1 ou ’ = 3 ; donc L’ = 45 ou L’ = 5.
Les couples (l ; L) sont : (12 ; 540) ou (36 ; 60).

Application (page 44)

1 1. Tout diviseur d de a et b divise toute combinaison linéaire de a et b ; par exemple :
2a – 5b = 2(5n + 1) – 5(2n – 1) = 7.
Donc d divise 7 et D a pour valeurs possibles 1 et 7.

2. a)

n  a = 5n + 1  b = 2n – 1 

0
1
6

1
6
1

2
4
3

3
2
5

4
0
0

5
5
2

6
3
4

Donc a  0 (mod 7) et b = 0 (mod 7) si, et seulement si, n = 7k + 4.

Spécialité ● Chapitre 2 ● PGCD. Théorème de Bézout. Théorème de Gauss

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