Printemps 2010

Chap. I.

Calcul Matriciel

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Dans tout ce qui suit, K désigne R ou C.

1 Dénitions et propriétés
Un tableau rectangulaire, de nombres ( ∈ K ), de la forme
 a  11   a21   .  .  . am1 a12 a22 ... ... a1n a2n        

. . .

(1)

am2

...

amn

est appelé matrice. Les nombres aij sont appelés coecients de la matrice. Les lignes horizontales sont appelées rangées ou vecteurs rangées, et les lignes verticales sont appelées colonnes ou vecteurs

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colonnes de la matrice. Une matrice à m rangées et n colonnes est appelée matrice de type (m, n). On note la matrice ( ??) par (aij ).
Exemple 1.

:

1) La matrice nulle nuls.

0 0    0 0 O= .  .  .  0 0



... ...

0



...

  0  .  .  .   0

a tous ses coecients

2) Une matrice (a1 , ..., an ) ayant une seule rangée est appelée matrice uniligne.

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

3) Une matrice

matrice unicolonne.

b  1   b2   .  .  . bm

       

ayant une seule colonne est appelée

1) Une matrice ayant le même nombre de rangées et de colonnes est appelées matrice carrée, et le nombre de rangées est appelé son ordre. 2) La matrice carrée (aij ) telle que aij = 0 si i = j et aii = 1 ∀i est appelée matrice unité, notée par I , elle vérie AI = IA = A, ∀A matrice carrée du même ordre que I . 3) Deux matrices (aij ) et (bij ) sont égales si et seulement si elles ont même nombre de rangées et le même nombre de colonnes et les éléments correspondants sont égaux ; c'est à dire aij = bij ∀i, j .

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2 Opérations sur les matrices
2.1 Addition

La somme de deux matrices de type (m, n) (aij ) et (bij ) est la matrice (cij ) de type (m, n) ayant pour éléments cij = aij