Modele lineaire generale

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Annexe n°3

Le Modèle Linéaire Général

1. Estimation des paramètres du modèle
Soit le modèle linéaire général : estimé est :

Yi = γ 0 + γ 1 X 1i + γ 2 X 2i + L + γ k X ki + U i (i = 1,L, n) . Yi = γˆ0 + γˆ1 X 1i + γˆ 2 X 2i + L + γˆ k X ki + ei

Le modèle

La forme matricielle de ces n équations est :

⎡Y1 ⎤ ⎡1 X 11 L ⎢Y ⎥ ⎢1 X L 12 ⎢ 2⎥ = ⎢ ⎢ M ⎥ ⎢M M L ⎢ ⎥ ⎢ ⎣Yn ⎦ ⎣1 X 1n L (n;1) = (n ; k + 1)

X k 1 ⎤ ⎡γˆ0 ⎤ ⎡ e1 ⎤ ⎥ ⎢ γˆ ⎥ ⎢e ⎥ X k2 ⎥ ⎢ 1 ⎥ + ⎢ 2⎥ ⎢M⎥ M ⎥ ⎢M⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ X kn ⎦ ⎣γˆ k ⎦ ⎣e n ⎦ × (k + 1 ;1) + (n ;1)

Le vecteur paramétrique à estimer est : γ 0 ; γ 1 ; γ 2 ; γ k et σ 2

ˆ Pour calculer γ , le principe est toujours le même : Il s’agit de minimiser
la SCR =

∑e

2 i

= e ' e (Evidemment, on suppose que le modèle est

plausible, c'est-à-direque toutes les hypothèses attachées à la valeur résiduelle sont respectées), ce qui donne

γˆ = (X ' X ) X 'Y
−1

Les paramètres des estimateurs sont les suivants :

E (γˆ ) = γ

ˆ ; V (γ ) = σ 2 X ' X

(

)

−1

XIV

Annexe n°3

ˆ Remarque : Pour estimer la variance de γ , il s’agit d’estimer σ 2
ˆ σ =
2

n − k −1

∑e

2 i

2. Tableau d’analyse de la variance
Letableau permettant l’analyse de la variance pour un m lg est : Source de ∆

X 1 , X 2 ,L, X k

Résidu Total

∑ des carrés ˆ SCE = ∑ y SCR = ∑ e SCT = ∑ y
2 i 2 i 2 i

ddl

Carrés moyens

k n − k −1 n −1

SCE / k
SCR / n − k − 1

3. Le coefficient d’explication multiple R2
Pour un m lg , ce coefficient permet de mesurer la proportion de la variation de Y expliquée par l’ensembledes variables explicatives X 1 , L , X k . On peut écrire :

R

2

ˆ ∑y = ∑y

2 i 2 i

=

γˆ ' x ' y
y' y

=

γˆ1 ∑ x1i yi + γˆ2 ∑ x2i yi + Lγˆk ∑ xki yi

∑y

2 i

Nous remarquons que le dénominateur de cette équation est égal à n V (Y ) , C’est donc une constante (hypothèse d’homoscédasticité). Pour le numérateur, on peut noter que le signe de γˆ j suit toujours celui de∑x

ji

yi

XV

Annexe n°3

On peut noter alors que plus le nombre de variables explicatives, k , augmente, plus le pouvoir explicatif du modèle mesuré par R 2 augmente aussi. Cette constatation peut obliger certains économètres à augmenter arbitrairement (sans se référer à la théorie économique) le nombre de variables explicatives. Cette éventuelle façon de procéder, à côté de sonaspect arbitraire, entraîne la diminution du ddl associé au carré résiduel, et peut engendrer le problème de multi – colinéarité. Tenant compte de cette remarque, on procède souvent à une correction de ce coefficient en calculant le coefficient de détermination corrigé, noté souvent par R . La correction doit tenir tout simplement des ddl associés au numérateur et au dénominateur. On aura alors :2

ˆ ∑ y =1− ∑e R = ∑y ∑y n −1 = 1 − (1 − R ) n − k −1
2 2 i 2 i 2

2 i 2 i

⇒R

2

∑e / n − k −1 =1− ∑e =1− ∑ y / n −1 ∑y
2 i 2 i

2 i 2 i

×

n −1 n − k −1

R = 1 − 1 − R2

2

(

n )n − −1 1 k−

L’augmentation de k entraîne à la fois : - L’augmentation de R 2 et donc la diminution de 1 − R 2 ; L’augmentation de

n −1 (car k > 1) n − k −1

Remarques La diminutionde 1 − R 2 peut être suffisante pour contrebalancer l’augmentation de ( n − 1) /( n − k − 1) ; ainsi 1 − R 2 ( n − 1) /( n − k − 1)

(

)

continue à diminuer et R augmente en conséquence. Toutefois, il est possible aussi que cette diminution ne soit pas suffisante, et elle entraîne en conséquence la diminution de R . On peut écrire alors :
2

2

XVI

Annexe n°3

L’augmentationdu nombre des variables explicatives n’implique pas systématiquement l’augmentation du coefficient de détermination corrigé.

k >1 ⇒

n −1 >1 ⇒ n − k −1

∑e ∑y

2 i 2 i

n −1 ∑ei2 ⇒ R2 > R2 > n − k −1 ∑ yi2

4. Les tests statistiques de signification

Pour un m lg , les tests statistiques à effectuer portent généralement sur :
La signification de l’effet d’une variable explicative...
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