Mécanique du solide indéformable Vibrations 1. Equilibre, stabilité et petits mouvements

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1.1 Introduction
Equilibre statique : - conditions initiales d’un système mécanique ; - comportement « linéaire » autour de l’équilibre statique ;

Voiture à l’arrêt

Equilibre dans un repère accéléré : - point de fonctionnement d’un système mécanique en régime établi ;

Voiture en virage

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1.2 Condition d’équilibre
Hypothèses : - liaisons holonômes ; - liaisons indépendantes du temps ; - système conservatif (forces actives dérivent d’un potentiel).
T Cordonnées généralisées indépendantes : q(t ) = [q1 (t ) q 2 (t ) … q n (t )]

Equilibre statique :

Equations du mouvement :

d  ∂T  dt  ∂qi 

 ∂T ∂U −  ∂q = ∂q = Qi i i 

Equilibre statique :

∀i

∂U = Qi = 0 ∂qi ∂T ∂U ∂ (T + U ) = 0 = = Qi ⇔ ∂qi ∂qi ∂qi
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Equilibre dans un repère accéléré :

∀i −

1.3 Stabilité d’un équilibre
Théorème de Lejeune – Dirichlet : Un système holonôme à liaisons indépendantes du temps, soumis à des forces dérivant d’une fonction U(q) (forces actives conservatrices), alors toute position q0 du système qui confère à la fonction de forces un maximum strict isolé (ou local) est une position d’équilibre stable. Ces positions sont aussi les minima stricts locaux de l’énergie potentielle. V (q)= -U(q) Équilibre stable Équilibre instable Équilibre stable non strict

q Exemples : pendule gyroscopique, pendule en rotation

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Conditions mathématiques : énergie potentielle : Extrémum :

V (q1 , q 2 ,
∀i

, qn ) = −U (q)

∂V (q 0 ) = 0 ⇔ ∇V (q 0 ) = 0 ∂qi

 ∂ / ∂q1   ∇=   ∂ / ∂qn   

le gradient de V : ∇V (q 0 ) = 0 maximum local :  la matrice hessienne de V : ∇∇ T V (q 0 ) est définie négative  le gradient de V : ∇V (q 0 ) = 0 minimum local :  la matrice hessienne de V : ∇∇ T V (q 0 ) est définie positive 
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1.4 Petits mouvements au voisinage d’un équilibre
Objectif : linéarisation des équations du mouvement On