Mathématiques économiques I Fiche synthèse : Fonctions à plusieurs variables

Dérivées partielles du 1er et du 2ème ordre :
Soit f une fonction à plusieurs variables, on appelle dérivée partielle du 1er ordre par rapport à la variable x la limite lorsqu’elle existe : limx0fx,y-fx0,yx-x0 On la note ∂f∂x ou f'xx,y ; y est supposée constante. De même, on appelle dérivée partielle du 1er ordre par rapport à la variable y la limite lorsqu’elle existe : limy0fx,y-fx,y0y-y0 On la note ∂f∂y ou f'yx,y ; x est supposée constante.
On définit les dérivées partielles du 2ème ordre comme suit : f''xx=f'xf'x que l’on note également : ∂2f∂x2 f''yy=f'yf'y que l’on note également : ∂2f∂y2 f''xy=f'yf'x que l’on note également : ∂2f∂x∂y f''yx=f'xf'y que l’on note également : ∂2f∂y∂x
Théorème de Schwartz : f''xy = f''yx (ce théorème est vrai en général et s’applique de toutes les façons à toutes les fonctions économiques que nous manipulerons dans le cadre de ce cours).
Fonctions homogènes :
Nous nous limiterons aux fonctions à 2 variables. f est dite homogène de degré k si :
Pour tout nombre réel a et pour tout couple (x,y) : fax,ay=akfx,y
Théorème d’Euler :
Les deux propositions suivantes sont équivalentes : 1) f homogène de degré k 2) xf'x+yf'y=kfx,y
Différentielle d’une fonction à plusieurs variables :
Cas d’une fonction à une variable (rappel) : f est une fonction à une variable : y=f(x) , on a : f'x= dfdx , df s’appelle la différentielle de f et dx la différentielle de x et on a : df=f'xdx ; si on désigne par ∆f et ∆x les accroissements respectifs de f et de x, on peut écrire que : ∆f = f'x ∆x
Pour les fonctions à plusieurs variables, on