TD14 Polynˆmes. o

Degr´ et coefficients. e Exercice 1. Calculer de deux mani`res les coefficients de (1 + X)n+m de mani`re ` calculer e e a la somme : p n m k p−k k=0 Exercice 2. Prouver la relation :
2n

(X 3 + X 2 + X + 1) k=0 (−1)k X k = X 2n+3 + X 2n+1 + X 2 + 1

Exercice 3. Trouver les coefficients du polynˆme : (1+X)(1+aX)(1+a2 X) · · · (1+an−1 X) o Exercice 4. D´velopper e n ( k=0 (−1)k X k )2

Exercice 5. Pourquoi les fonctions suivantes ne sont-elles pas des polynˆmes : z → z , x → o ¯ |x|, x → sin(x). Exercice 6. Quel est le degr´ de : (iX + 1)n − (iX − 1)n , (X 2 + 1)n + (X + i)n , (2X 2 + e X)2 − (aX + 1)4 , (X 2 + 1)n − (X + i)2n . Exercice 7. Soit P ∈ C[X] tel que pour tout x ∈ R, P (x) ∈ R. Montrer que P est ` a coefficients r´els. e Exercice 8. On consid`re la suite de polynˆmes Tn d´finie par Tn+2 = 2XTn+1 −Tn , T0 = 1, e o e T1 = X. Montrer que Tn est le seul polynˆme tel que pour tout x ∈ R, Tn (cos(x)) = o cos(nx). Calculer ses coefficients, son degr´, ses racines. e Exercice 9. D´velopper les polynˆmes suivants, o` n est un entier naturel non nul. e o u Pn (X) = n 2k k=1 (X

+ 1) , Qn (X) = (X − 1)Pn (X). Equations polynˆmiales o

Exercice 10. Trouver tous les polynˆmes P ∈ R[X] tels que P (P ) = P o Exercice 11. Trouver tous les polynˆmes P ∈ R[X] tels que (X 2 + 1)P (X) = P (X 2 ) o Exercice 12. Soit a, b, c, x, y, z ∈ R distincts deux ` deux. Trouver un polynˆme L de degr´ a o e 2 tel que L(a) = 1, L(b) = L(c) = 0. Trouver un polynˆme P de degr´ 2 tel que o e P (a) = x,P (b) = y,P (c) = z. Exercice 13. Trouver les polynˆmes de degr´ 3 tels que P (0) = P (0) = P (1) = P (1) = 0. o e Exercice 14. Trouver les polynˆmes P ∈ C[X] tels que P divise P o Exercice 15. Trouver les polynˆmes P ∈ C[X] tels que P (X + 1) = P (X). o Exercice 16. Trouver tous les polynˆmes P ∈ R[X] tels que (X 2 + 1)P − 6P = 0. o

1

Divisibilit´-Racines e Exercice 17. D´terminer l’ordre de racine 1 pour 4X 3 + 8X 2 − 11X + 3. Mˆme question e e 2