Phedre

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 6 (1411 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 27 mars 2011
Lire le document complet
Aperçu du document
TD14 Polynˆmes. o

Degr´ et coefficients. e Exercice 1. Calculer de deux mani`res les coefficients de (1 + X)n+m de mani`re ` calculer e e a la somme : p n m k p−k
k=0

Exercice 2. Prouver la relation :
2n

(X 3 + X 2 + X + 1)
k=0

(−1)k X k = X 2n+3 + X 2n+1 + X 2 + 1

Exercice 3. Trouver les coefficients du polynˆme : (1+X)(1+aX)(1+a2 X) · · · (1+an−1 X) o Exercice 4. D´velopper e
n(
k=0

(−1)k X k )2

Exercice 5. Pourquoi les fonctions suivantes ne sont-elles pas des polynˆmes : z → z , x → o ¯ |x|, x → sin(x). Exercice 6. Quel est le degr´ de : (iX + 1)n − (iX − 1)n , (X 2 + 1)n + (X + i)n , (2X 2 + e X)2 − (aX + 1)4 , (X 2 + 1)n − (X + i)2n . Exercice 7. Soit P ∈ C[X] tel que pour tout x ∈ R, P (x) ∈ R. Montrer que P est ` a coefficients r´els. e Exercice 8. Onconsid`re la suite de polynˆmes Tn d´finie par Tn+2 = 2XTn+1 −Tn , T0 = 1, e o e T1 = X. Montrer que Tn est le seul polynˆme tel que pour tout x ∈ R, Tn (cos(x)) = o cos(nx). Calculer ses coefficients, son degr´, ses racines. e Exercice 9. D´velopper les polynˆmes suivants, o` n est un entier naturel non nul. e o u Pn (X) =
n 2k k=1 (X

+ 1) , Qn (X) = (X − 1)Pn (X). Equations polynˆmiales o

Exercice10. Trouver tous les polynˆmes P ∈ R[X] tels que P (P ) = P o Exercice 11. Trouver tous les polynˆmes P ∈ R[X] tels que (X 2 + 1)P (X) = P (X 2 ) o Exercice 12. Soit a, b, c, x, y, z ∈ R distincts deux ` deux. Trouver un polynˆme L de degr´ a o e 2 tel que L(a) = 1, L(b) = L(c) = 0. Trouver un polynˆme P de degr´ 2 tel que o e P (a) = x,P (b) = y,P (c) = z. Exercice 13. Trouver les polynˆmes dedegr´ 3 tels que P (0) = P (0) = P (1) = P (1) = 0. o e Exercice 14. Trouver les polynˆmes P ∈ C[X] tels que P divise P o Exercice 15. Trouver les polynˆmes P ∈ C[X] tels que P (X + 1) = P (X). o Exercice 16. Trouver tous les polynˆmes P ∈ R[X] tels que (X 2 + 1)P − 6P = 0. o

1

Divisibilit´-Racines e Exercice 17. D´terminer l’ordre de racine 1 pour 4X 3 + 8X 2 − 11X + 3. Mˆme question e e 2avec la racine 1 pour X 2n+1 − (2n + 1)X n+1 + (2n + 1)X n − 1. Exercice 18. Trouver les racines du polynˆme X 4 − 5X 3 + 9X 2 − 15X + 18 sachant qu’il o poss`de 2 racines dont le produit vaut 6. e Exercice 19. Trouver les polynˆmes P de degr´ 5 tels que (X + 1)3 divise P − 1 et (X − 1)3 o e divise P + 1. Exercice 20. Soit P = X 3 + pX + q. Montrer que P admet une racine au moins double si etseulement si 4p3 + 27q 2 = 0 Exercice 21. Montrer que X 2 + X + 1 divise (X + 1)2n+1 + X n+2 Exercice 22. Montrer que x = 2 cos( 2π ) est racine de X 3 + X 2 − 2X − 1. Quelles sont les 7 autres racines ? Exercice 23. Le polynˆme X 7 + 3iX − 5(1 − i) est -t- il divisible par X − 1 − i ? o Exercice 24. D´terminer si le polynˆme A est divisible par B dans R[X] ou dans C[X] : e o a) A(X) = X 4 − 3X 2 + 5X− 3, B(X) = −X + 1. b) A(X) = X 4 + 8X 3 + 11X 2 − 20X + 6, B(X) = X 2 + 3X + 2. c) A(X) = X 5 − 28X 4 + 7X 2 − 51X + 3, B(X) = X 8 + X 4 + 1. d) A(X) = iX 4 − 5X 3 + (2 + i)X 2 − iX − 1 − 2i, B(X) = X + 2i. e) A(X) = X 7 + 3iX + 5(1 − i), B(X) = X − 1 − i. Exercice 25. a) On pose Pn = X n − 1. D´terminer le quotient et le reste de P par X − 1. e b) D´terminer a et b de fa¸on que A = aX n+1 + bX n +1 soit divisible par (X − 1)2 . e c c) Soient λ et µ les restes des divisions euclidiennes de A par X − a et X − b. Calculer le reste de la division euclidienne de A par (X − a)(X − b) en fonction de λ et µ. d) Trouver le reste de la division euclidienne de P (X) = (X sin(α) + cos(α))n par X 2 + 1. Factorisation Exercice 26. Factoriser le polynˆme : o
n

k=0

n sin(kθ)X k k

Exercice 27.Trouver les racines du polynˆme (X +1)n −1, en d´duire la valeur du produit : o e
n−1

sin(
k=1

kπ ) n

Exercice 28. Trouver λ pour que X 3 +X 2 +λX+3 admette 2 racines x, y v´rifiant x+y = xy e Exercice 29. Trouver tous les complexes a, b, c tels que a + b + c = 6, a2 + b2 + c2 = 14, abc = 6 Exercice 30. D´terminer l’ensemble des r´els p tels que le syst`me suivant admette au moins e e...
tracking img