Probabilites 1

Licence S3 Plan des cours ´ 1. Probabilites

2009

La th´orie des probabilit´s permet de mod´liser ce qui dans la r´alit´ e e e e e rel`ve du ”hasard”, de l’al´atoire. e e 1.1. Vocabulaire. – On commence par se donner un ensemble Ω appel´ univers ou popue lation. – Les ´l´ments de Ω sont appel´s des r´sultats. ee e e – Un ´v´nement est une partie de Ω. e e – Nous d´signons par ´preuve une exp´rience reproductible r´alis´e dans e e e e e des conditions bien d´finies et dont le r´sultat est un ´l´ment d’un e e ee ensemble bien d´termin´ Ω. e e Exemple 1.1. Epreuve : On lance un d´ ` six faces et on note le num´ro ea e obtenu. L’univers des possibles est Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ´ e Ev´nement : Obtenir un nombre impair, est la partie {1, 3, 5} de Ω. Exemple 1.2. Epreuve : On jette deux pi`ces. L’univers des possibles est e Ω = {(P, P ), (P, F ), (F, P ), (F, F )} ´ e Ev´nement : ”la premiere piece montre pile”, c’est une partie {(P, P ), (P, F )} de Ω. Exemple 1.3. Epreuve : On mesure en heures la dur´e de vie d’un trane sistor. L’univers des possibles est Ω = {h|0 ≤ h ≤ +∞} ´ e Ev´nement : ”le transistor dure au moins 5 heures”, c’est une partie {h|5 ≤ h ≤ +∞} de Ω. On dit qu’un ´v´nement A ⊂ Ω est r´alis´ a l’issue d’une ´preuve, si le e e e e e r´sultat de l’´preuve ω ∈ Ω appartient ` l’ensemble A. (Donc, si le resultat e e a d’une ´preuve dans l’Exemple 1.1 au dessus est ”4”, l’´v´nement ”Obtenir e e e un impair” n’est pas r´alis´.) e e Les ´v´nements de la forme {ω} sont appel´s ´v´nements ´l´mentaires. e e e e e ee Les op´rations ensemblistes sur les ´v´nements se traduisent comme suit : e e e Soit A, B ⊂ Ω sont des ´v´nements associ´s ` une exp´rience, e e e a e – Ω est l’´v´nement certain : il est realis´ quel que soit le r´sultat de e e e e l’´preuve. e – ∅ est l’´v´nement impossible : quel que soit le r´sultat de l’´preuve, il e e e e n’est pas r´alis´. e e
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– Compl´mentaire : Ac est l’´v´nement contraire ` A, qui est realis´ si