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  • Publié le : 15 avril 2011
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PROBABILITES - COURS 1) Vocabulaire des probabilités Définitions : Une expérience aléatoire est un enchaînement d’actions exécutées suivant un protocole précis, reproductible à l’identique, et dont les résultats sont a priori soumis au hasard. L’univers des issues (ou des possibilités) est l’ensemble Ω de ses résultats possibles.
Exemple : Jet d’une pièce équilibrée. Ω = { P; F } . Jet d’un dé à6 faces équilibré. Ω = {1;2;3;4;5;6} .

Définitions : Une expérience aléatoire d’univers Ω étant donnée, un événement est un sous-ensemble (ou partie) de Ω . Si l’événement contient une seule issue, on dit qu’il est élémentaire.
Exemples : Jet d’un dé à 6 faces équilibré. Ω = {1;2;3;4;5;6} . L’événement « obtenir un nombre pair » est modélisé par le sous-ensemble A = {2;4;6} . On peut définirde même « obtenir un nombre impair » et « obtenir un multiple de 3 » par B = {1;3;5} et

C = {3;6} . L’événement « obtenir la face 6 » est élémentaire. Définitions : Une expérience aléatoire d’univers Ω et deux ensembles A et B étant donnés, on définit par analogie aux notations de théorie des ensembles : l’événement « A et B » par le sous-ensemble
A ∩ B , constitué des issues appartenant à Aet B.

l’événement « A ou B » par le sous-ensemble
A ∪ B , constitué des issues appartenant à A ou à

B ou aux deux (on dit que le « ou » est inclusif)

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jgcuaz@hotmail.com

L’événement « non A» ou « contraire de A » par le sous-ensemble A .

L’événement ∅ est l’événement impossible. L’événement Ω est l’événement certain. Si A ∩ B = ∅ , on dit que les événements A et B sontincompatibles (Ils ne peuvent pas de réaliser en même temps).

Exemple : Sous les notations précédentes, on a alors A ∩ B = ∅ , A ∩ C = {6} et A ∪ C = {1;3;5;6} .

2) Notion de probabilité
Définition : Une expérience aléatoire E d’univers Ω étant donnée, une probabilité associée à E est une fonction p définie sur Ω , à valeurs dans [0 ;1], et vérifiant : 1) La somme des probabilités de tousles événements élémentaires de Ω vaut 1 2) La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent.
Exemples : 1) Reprenant les notations précédentes, on peut définir une probabilité par : Face Probabilité 1 2 3 4 5 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

La somme des probabilités des six événements élémentaires vaut bien 1. On auraalors p ( A ) = p

3 ({2;4;6}) = p ({2}) + p ({4}) + p ({6}) = 1 + 1 + 1 = 6 = 1 6 6 6 2

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jgcuaz@hotmail.com

2) Il est tout-à-fait possible de définir une autre probabilité par la donnée de : Face Probabilité 1 2 3 4 5 6

1 12

1 6

1 12

1 3

1 12

1 4

La somme des probabilités des six événements élémentaires vaut également 1. On aura alors p ( A ) = p({2;4;6}) = p ({2}) + p ({4}) + p ({6}) = 1 + 1 + 1 = 3 6 3 4 4

On constate qu’il n’y a donc pas unicité de la probabilité, même si la 1ère définition semble plus « naturelle ».

Interprétation : La probabilité d’un événement traduit la fréquence de réalisation de celui-ci lors d’un grand nombre de répétitions de l’éxpérience aléatoire.

Propriétés : Une expérience aléatoire E d’univers Ω et deuxensembles A et B étant donnés, on a : 1) p ( ∅ ) = 0 et p ( Ω ) = 1 2) p ( A ∪ B ) = p ( A ) + p ( B ) − p ( A ∩ B ) 3) p A = 1 − p ( A )

( )

Preuves : 1) L’événement ∅ ne contient aucune issue tandis que l’événement Ω contient tous les événements élémentaires. 2) Pour dénombrer les d’issues de A ∪ B , on dénombre celles de A, puis celles de B, et on minore le tout de celles de A ∩ B quiont été comptées deux fois. 3) A ∪ A = Ω et A ∩ A = ∅ donc d’après ce qui précède, p A ∪ A = p ( A ) + p A − p A ∩ A .

(

)

( ) (

)

Or p A ∪ A = p ( Ω ) = 1

(

)

Définition - Propriété : Si tous les événements élémentaires de l’univers Ω d’une expérience aléatoire E ont même probabilité, on dit qu’on est en situation d’équiprobabilité. Si l’univers Ω est fini, alors pour tout...
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