TD4 Estimation et intervalles de confiance
Exercice 1
1. Les individus de l’étude sont des plants de pois à fleurs blanches.
2. Le caractère étudié est le nombre de fleurs par plant. C’est un caractère discret quanti- tatif. 3. C’est une fonction de l’échantillon aléatoire généralement noté θ̂ = f(X1, . . . , Xn).
4. Un estimateur non biaisé de la moyenne théorique µ est la moyenne empirique :
X̄n = 1 n n∑ i=1 Xi
L’estimation associée est : x̄n = 1
80(14 × 3 + · · · + 11 × 7) ≈ 4.96
5. Un estimateur …afficher plus de contenu…

L’estimation pour le second groupe est x̄2 = 21 (donné par mean(C2)).
2. Un estimateur non biaisé de la variance théorique σ2 est la variance corrigée :
S′2
n = 1 n − 1 n∑ i=1
(Xi − X̄n)2.
L’estimation pour le premier groupe est s′2
1 = 0.66 (donné par var(C1)). L’estimation pour le second groupe est s′2
2 = 0.819 (donné par var(C2)).
3. La formule de l’intervalle de confiance de la moyenne µ à variance inconnue au niveau de confiance 1 − α est
I(µ, α) =
[
X̄ − tn−1;1−α/2
S′
√ n , X̄ + tn−1;1−α/2
S′
√ n ]
,
où X̄ est la moyenne empirique et S′ est l’écart-type corrigé. Pour le premier groupe, on a n1 − 1 = 22. Pour un niveau 0.98, on a 1 − α/2 = 0.99 et on lit sur la feuille de …afficher plus de contenu…

4. On utilise la même formule sauf que l’on prend le quantile t13;0.99 = 2.65. L’application numérique sur les données donne
I(µ2, α) =
[
21 − 2.650.905√
14
, 21 + 2.650.905√
14
]
= [20.4, 21.6].
5. Les deux intervalles se recoupent fortement. A la vu des intervalles de confiance, on ne peut pas dire qu’il y a une différence entre les moyennes (théoriques) des deux groupes.
Exercice 6
1. L’intervalle de confiance de la variance σ2 au niveau 1 − α est
I(σ2, α) =
[
(n − 1)S′2 zn−1;1−α/2 ,
(n − 1)S′2 zn−1;α/2 ]
,
où S′2 est la variance corrigée. Pour le premier groupe, on a n1 − 1 = 22. Pour un niveau
0.96, on a α/2 = 0.02 et 1 − α/2 = 0.98 et on lit sur la feuille de TD que z22,0.02 = 10.6 et z22,0.98 = 37.66. L’application numérique sur les données renvoie :
I(σ2
1, α)