CantatJME3.rep140 Le journal de maths des élèves, Volume 1 (1995), No. 3
Théorème de
Poincaré-Bendixson
Serge Cantat
Introduction.
On présente ici une démonstration du théorème de
Poincaré-Bendixson et quelques questions qui lui sont liées. Ce théorème s’inscrit dans le cadre de la théorie qualitative des équations différentielles, il n’est donc pas surprenant d’y voir attaché le nom d’Henri Poin- caré. Son énoncé donne l’existence de solutions pério- diques pour des équations …afficher plus de contenu…

Définition (Ensemble limite). Soit x un élé- ment de Ω ; l’ensemble limite de x noté ω(x) est défini par : ω(x) =
⋂
t≥0
{φs(x), s ≥ t}
La notation ω signifie que l’on regarde l’ensemble li- mite de x vers les temps positifs, pour les temps néga- tifs on aurait mis un α, conformément à l’orientation de l’alphabet grec. Quitte à inverser le temps les deux études sont similaires.
On pourrait aussi définir l’ensemble ω(x) de la manière suivante : ω(x) = {y ∈ Ω | ∃tn →∞ φtn(x)→ y}
En d’autres termes ω(x) est l’ensemble des points adhérents à γ(x) au voisinage des temps infinis. C’est cet ensemble que l’on va étudier dans la suite, il est au centre du théorème de Poincaré-Bendixson.
L’exemple le plus simple d’ensemble limite est …afficher plus de contenu…

Si y2 est entre les deux autres points d’intersection le théorème de redressement du flot nous montre qu’au- paravant la trajectoire de x se situait dans la compo- sante bornée de E−P . Comme la trajectoire ne peut pas rentrer au niveau de S c’est que la courbe s’est coupée elle même. Elle est donc périodique et les trois points considérés sont égaux.144 Le journal de maths des élèves, Volume 1 (1995), No. 3
Corollaire 1. Il ne peut pas y avoir deux points distincts (y1, y2) d’un ensemble limite ω(x) sur une même section.
Démonstration. Dans le cas contraire des points de la trajectoire de x se situeraient alternativement au voisinage de y1 et y2 et la monotonie serait