Valeur absolue d’un nombre
I. Cours
Définition :
Soit x un nombre réel. On appelle valeur absolue de x , notée | x |, le nombre positif ou nul tel que :
| x | = x si x ≥ 0
| x | = − x si x ≤ 0
Exemples :

|20| = 20
|-3| = 3
|1-π| = π-1 car 1-π < 0

Interprétation graphique de la valeur absolue :
Soit M le point image de x . On a | x | = OM. x M

0

Propriétés :
Pour tout x réel, on a :
|x| ≥ 0
| x | = | −x | x² = | x |
Valeur absolue d’un produit : xy = x y

Valeur absolue d’un quotient :

x x = y y

Valeur absolue d’une somme : elle n’est en général pas égal à la somme des valeurs absolues. En revanche, on a toujours : | x + y | ≤ | x | + | y |

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Valeur absolue

Equations et inéquations avec des valeurs absolues : x =a

équivaut à

x = a ou x = -a suivant le signe de x

x ≤a

équivaut à

-a ≤ x ≤ a

x >a

équivaut à

x < -a ou x > a

La fonction valeur absolue :
Soit f telle que f ( x) = | x |
On a f ( x) = x si x ≥ 0 et f ( x) = - x si x ≤ 0 f est donc une fonction affine, et peut représenter son tableau de variation :

x

-∞

0

∞

|x|
0
Représentation graphique de la fonction valeur absolue :

II. Exercices
Résoudre :
Essayez de résoudre sans regarder les solutions qui se trouvent page suivante. Donner les solutions sous forme d’intervalles.
1. − x ≤ 3
2. 2 x + 7 ≤ 21
3. 3x >7
4. 3 ≤ x − 1 ≤ 9
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Valeur absolue

Solutions :
1.

−x ≤ 3

x ≤3
−3 ≤ x ≤ 3
Donc S1 = [ −3;3]
2.

2 x + 7 ≤ 21
−21 ≤ 2 x + 7 ≤ 21
−28 ≤ 2 x ≤ 14
−14 ≤ x ≤ 7
S 2 = [ −14; 7 ]

3.

3x >7
3 x < −7 ou 3x>7
7
7 x 3
3
7 7


S 3 =  −∞; −  ∪  ; +∞ 
3 3



4.

3 ≤ x −1 ≤ 9

Il faut résoudre deux inéquations : 3 ≤ x − 1 (a) et x − 1 ≤ 9 (b)

x −1 ≥ 3
(a)

x − 1 ≤ −3

ou

x −1 ≥ 3

x ≤ −2

ou

x≥4

S a = ]−∞; −2] ∪ [ 4; +∞[ x −1 ≤ 9
(b)

−9 ≤ x − 1 ≤