abValeur absolue d’un nombre
I. Cours
Définition :
Soit x un nombre réel. On appelle valeur absolue de x , notée | x |, le nombre positif ou nul tel que : | x | = x si x ≥ 0 | x | = − x si x ≤ 0 Exemples : |20| = 20 |-3| = 3 |1-π| = π-1 car 1-π < 0

Interprétation graphique de la valeur absolue :
Soit M le point image de x . On a | x | = OM. x M 0

Propriétés :
Pour tout x réel, on a : |x| ≥ 0 | x | = | −x | x² = | x | Valeur absolue d’un produit : xy = x y x x = y y

Valeur absolue d’un quotient :

Valeur absolue d’une somme : elle n’est en général pas égal à la somme des valeurs absolues. En revanche, on a toujours : | x + y | ≤ | x | + | y |

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Equations et inéquations avec des valeurs absolues : x =a x ≤a x >a équivaut à équivaut à équivaut à

x = a ou x = -a suivant le signe de x
-a ≤ x ≤ a x < -a ou x > a

La fonction valeur absolue :
Soit f telle que f ( x) = | x | On a f ( x) = x si x ≥ 0 et f ( x) = - x si x ≤ 0 f est donc une fonction affine, et peut représenter son tableau de variation :

x
|x|

-∞

0

∞

0 Représentation graphique de la fonction valeur absolue :

II. Exercices
Résoudre :
Essayez de résoudre sans regarder les solutions qui se trouvent page suivante. Donner les solutions sous forme d’intervalles. 1. − x ≤ 3 2. 2 x + 7 ≤ 21 3. 3x >7 4. 3 ≤ x − 1 ≤ 9
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Solutions :
1.

−x ≤ 3

x ≤3 −3 ≤ x ≤ 3 Donc S1 = [ −3;3]
2.

2 x + 7 ≤ 21 −21 ≤ 2 x + 7 ≤ 21 −28 ≤ 2 x ≤ 14 −14 ≤ x ≤ 7
S 2 = [ −14; 7 ]

3.

3x >7 3 x < −7 ou 3x>7 7 7 x 3 3 7 7   S 3 =  −∞; −  ∪  ; +∞  3 3   3 ≤ x −1 ≤ 9 x −1 ≥ 3

4.

Il faut résoudre deux inéquations : 3 ≤ x − 1 (a) et x − 1 ≤ 9 (b)

(a)

x − 1 ≤ −3 x ≤ −2

ou ou

x −1 ≥ 3 x≥4

S a = ]−∞; −2] ∪ [ 4; +∞[ x −1 ≤ 9 (b) −9 ≤ x − 1 ≤ 9 −8 ≤ x ≤ 10 Sb = [ −8;10]

La solution de 4 doit vérifier les solutions de (a) et de