Base orthonormale

Remarque 3.2 − − – Avec les notations précédentes : M est élément du plan affine passant par A et engendré par → et → si et seulement si u v −→ − → et → : P . − − le vecteur AM est élément du plan vectoriel engendré par u v − − – Le couple →, → forme une base de P . u v − − – Le triplet A, →, → forme un repère de P. u v – On peut aussi définir un plan affine P en se donnant trois points non alignés A, B et C de E . On définit le plan affine passant par ces trois points comme étant le plan affine passant par

. 3 3 3 L’espace est rapporté au repère orthonormal O ; b) Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier (c’est-à-dire que toutes ses arêtes ont même longueur). c) Soit Ω le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD. Démontrer que Ω est un point de la droite (OH) puis calculer ses coordonnées.   1/ 11 1er mai 2010  T S Exercice II : Polynésie 2003 Partie A − → − → − → Dans l’espace muni d’un repère orthonormal O, ı ,  , k , on considère les points A, B

. . . . . . . . . . . 19.2.1 Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.2 Orthogonal d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.3 Algorithme d’orthonormalisation de Schmidt . . . . . . 19.2.4 Calculs dans une base orthonormale . . . . . . . . . . . 19.3 Produit mixte, produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . 19.3.1 Produit mixte dans un espace euclidien orienté . . . . . 19.3.2 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4 Projections orthogonales

COORDONNEES A ) BASE ET REPERE Soit i , j et k trois vecteurs non coplanaires de l’espace et O un point de l’espace, alors : ( i , j , k ) est une base des vecteurs de l’espace ( O ; i , j , k ) est un repère de l’espace On dit que le repère ( O ; i , j , k ) ( la base ( i , j , k ) ) est orthogonal , lorsque les vecteurs i , j et k sont orthogonaux deux à deux . Si, de plus, les vecteurs i , j et k sont unitaires ( ont pour norme 1 ) alors, on dit que le repère ( la base ) est orthonormal . Ex : représentation

l’espace. Sommaire I) Les modes de repérage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Repère cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Repère orthonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) Repère orthonormal direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4) Coordonnées cylindriques et coordonnées sphériques . . . . . . . . . . II) Produit scalaire, produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . .

limite en + ∞ ? 1 (on pourra considérer les suites ( u n ) et ( v n ) définies par : u n = n et v n = n + -- ). 2 On considère la fonction f définie sur Exercice Soit réel. Soit imaginaire. (4 points) Déterminer et représenter dans un repère orthonormal l’ensemble des points M d’affixe z, tels que le nombre Z = ( 2 – z ) ( i + z ) . Devoir 01-MA02-10 7 Exercice (2 points) Dans le plan complexe, déterminer et construire l’ensemble des points M d’affixe z tels que z + i = 2 . Exercice

suite ne converge pas. vn Affirmation 3. d Si (un ) et (v n ) convergent alors la suite E XERCICE 2 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité un converge. vn 5 points → → − − Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct O, u , v . On prendra pour unité graphique 5 cm. 1+i zn . On note A n le point du On pose z0 = 2 et, pour tout entier naturel n, zn+1 = 2 plan d’affixe zn . 1. Calculer z1 , z2 , z3 , z4 et vérifier que z4 est un nombre réel. Placer

du plan indirect i → k Les bases de l'espace ou des plans s'orientent de la même façon que les repères. Dans toute la suite du chapitre, les bases ou repères considérés seront orthonormaux. I) Définition du produit scalaire (euclidien) et conséquences Définition 1 On se place dans une base orthonormale de l'espace. Soient u (x ; y ; z) et v ( x ′ ; y ′ ; z ′ ) deux vecteurs. On → → → → → → appelle produit scalaire (euclidien) de u et v le réel noté u . v et défini par : → → u

tr(t AB) ; sur C 0 ([a, b], R), (f, g) = 1.3.2 Norme et distance euclidienne b a fg Inégalité de Minkowski, cas d'égalité 1.4 Orthogonalité (E, ( | )) phr 1.4.1 Dénitions Vecteurs orthogonaux, famille orthogonale, orthonormale Un système orthonormal est libre(démo) Th de Pythagore 1.4.2 Sous-espaces orthogonaux Dénition : orthogonalité de 2 sev, supplémentaires orthogonaux Si F est un sev de E , l'orthogonal de F est F ⊥ = {y ∈ E, ∀x ∈ F (x|y) = 0} ; c'est un sev de E F

R4 muni du produit scalaire euclidien. 1. Déterminer une base orthogonale du sous-espace vectoriel E engendré par u1 = (1, 0, 0, −1) et u2 = (−1, −1, 1, 1). En déduire une base orthonormale de E . 2. Déterminer le sous-espace vectoriel orthogonal de E , E ⊥ . En déduire une base orthonormale de E ⊥ . a) b) c) Donner une base orthonormale de R4 autre que la base canonique. Quelles sont les coordonnées de u = (1, 2, −1, −2) dans cette base . Décomposer u en la somme d'un élément de E et d'un élément