Algorithme de Gram-Schmidt

concernant les erreurs ; seul leurs ordres de ` grandeur doivent ˆtre connus des ´tudiants. A cette occasion, on pourra introduire la notion de rapidit´ de e e e convergence d’une suite mais aucune connaissance n’est exigible sur ce point. Les algorithmes pr´sent´s ne sont regroup´s que pour la commodit´ de la pr´sentation ; leur ´tude doit intervenir e e e e e e au fur et ` mesure de l’avancement du programme. a a) Calcul approch´ des z´ros d’une fonction e e On consid`re ici des fonctions f : I

y) ∈ Z2 tels que 147x + 495y = 12. 1. Le pgcd peut être calculé par l’algorithme d’Euclide. Mieux encore : les calculs que nous ferons pourront être réutilisés afin de déterminer les entiers u et v. Il est bien plus efficace d’utiliser cet algorithme pour calculer un pgcd que de déterminer les décompositions en facteurs premiers ; le fait qu’il nous permette ensuite de déterminer les coefficients de la relation de Bézout est une raison de plus pour l’utiliser sans hésiter. 256 9782100547678-Fresl-C11

orthogonales ssi : < u, v >w = 0 . Théorème 2.10 Il existe une suite infinie de polynômes (deux à deux) orthogonaux {πi (x)} tels que deg (πi (x)) = i, ∀ i. Cette suite est unique à une “normalisation”près. Construction : (“Processus d’orthogonalisation de Gram-Schmidt”) On cherche πi (x) sous la forme πi (x) = Ki xi + ci,i−1 πi−1 (x) + ci,i−2 πi−2 (x) + ... + ci,0 π0 (x) Les constantes ci,i−1 , ci,i−2 , ..., ci,0 sont déterminées de manière unique par les conditions : < πi , πi−1 >w =< πi , πi−2 >w = ... =<

suites et des fonctions avec celle de leur e e comportement local ou asymptotique. Pour l’´tude des solutions des ´quations, il combine les probl`mes e e e d’existence et d’unicit´, les m´thodes de calcul exact, les m´thodes d’approximation et les algorithmes de mise e e e en œuvre. Pour l’ensemble de l’analyse, il met l’accent sur les techniques de majoration. En premi`re ann´e, la maˆ e e ıtrise du calcul diff´rentiel et int´gral ` une variable et de ses interventions en g´om´trie e e a e e diff´rentielle

HTAP IC IFN-γ IL ISWVG ITV ITVao : antigène commun des entérobactéries. : acute lung injury. : adrenocorticotrophic hormone (hormone adréno-corticotrope). : antithrombine. : adénosine triphosphate. : arginine vasopressine. : bacilles à Gram négatif. : bacilles à Gram positif. : brain natriuretic peptide. : bactericidal permeability increasing protein. : cathétérisme artériel pulmonaire. : cortisol binding globulin. : cortisol binding protein. : céphalosporine de troisième génération. : coagulation

MATIERES 5.3 Fonctionnement du Mbone . . . . . . . . . . . . . . Routage IP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Table de routage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Routage statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Algorithme de routage . . . . . . . . . . . 6.3 Routage dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 RIP — “ Routing Information Protocol ” 6.3.2 OSPF — “ Open Shortest Path First ” . . 6.4 D´couverte de routeur et propagation de routes . . e 6.5 Message

Det(− ,− ) → →u → →u → →u – Det(λu1 u2 3 u1 3 u2 → 3 →→ →→ u2 u1 u1 u2 2. antisym´trie : Det(− ,− ) = − Det(− ,− ). e → − → →→ 3. vecteurs li´s : les vecteurs − et u2 sont li´s si et seulement si Det(− ,− ) = 0. e u1 e u1 u2 4. In´galit´ de Gramm-Schmidt : e e →→ → |Det(− ,− )| ≤ − u1 u2 u1 − → u2 avec ´galit´ si et seulement si les deux vecteurs sont orthogonaux. e e 5. Identit´ de Lagrange : e →→ →→ → (− .− )2 + Det(− ,− )2 = − u1 u2 u1 u2 u1 2 − → u2 2 Proposition 5.9 : Interpr´tation

→ →u – Det(λu1 u2 3 u1 3 u2 → 3 →→ →→ 2. antisym´trie : Det(− ,− ) = − Det(− ,− ). e u2 u1 u1 u2 → → →→ 3. vecteurs li´s : les vecteurs − et − sont li´s si et seulement si Det(− ,− ) = 0. e u1 u2 e u1 u2 4. In´galit´ de Gramm-Schmidt : e e →→ → |Det(− ,− )| ≤ − u1 u2 u1 − → u2 avec ´galit´ si et seulement si les deux vecteurs sont orthogonaux. e e 5. Identit´ de Lagrange : e →→ →→ → (− .− )2 + Det(− ,− )2 = − u1 u2 u1 u2 u1 2 − → u2 2 Proposition

→ →u – Det(λu1 u2 3 u1 3 u2 → 3 →→ →→ 2. antisym´trie : Det(− ,− ) = − Det(− ,− ). e u2 u1 u1 u2 → → →→ 3. vecteurs li´s : les vecteurs − et − sont li´s si et seulement si Det(− ,− ) = 0. e u1 u2 e u1 u2 4. In´galit´ de Gramm-Schmidt : e e →→ → |Det(− ,− )| ≤ − u1 u2 u1 − → u2 avec ´galit´ si et seulement si les deux vecteurs sont orthogonaux. e e 5. Identit´ de Lagrange : e →→ →→ → (− .− )2 + Det(− ,− )2 = − u1 u2 u1 u2 u1 2 − → u2 2 Proposition

qn , celui qui réalise le minimum des ||f −qn ||∞ , on peut utiliser racines (xi ) du polynôme de Chebychev permettent d'initialiser cet par son polynôme de Lagrange aux points Pour avoir le meilleur polynôme l'algorithme de Rémès ; et les algorithme. Voir Crouzeix et Mignot [5]. Remarque 1.54 Si on souhaite se placer sur un intervalle 2t−b−a ∈ [−1, 1] pour se retrouver dans [−1, 1]. b−a variable x= 1.10 * Moindres carrés [a, b] ∋ t, on fait le changement de Pour les expressions explicites