Coordonnées cartésiennes

Equations cartésiennes d’une droite I) Vecteur directeur d’une droite : 1) Définition Soit (d) une droite du plan. Un vecteur directeur d’une droite (d) est un vecteur non nul la même direction que la droite (d). qui possède Exemple 1 : Toute droite possède une infinité de vecteurs directeurs. Remarque : Soit colinéaire au vecteur un vecteur directeur de la droite (d).Tout vecteur non nul et est aussi vecteur directeur de cette droite. Exemple 2 : Remarques : • Deux points distincts quelconques

deux vecteurs de coordonnées   et   dans un repère (O, i , j ).  y  y ' Dire que u et v sont colinéaires revient à dire que les coordonnées des deux vecteurs sont proportionnelles soit : xy’ – yx’ = 0. Démonstration : - Si l’un des vecteurs est nul alors l’équivalence est évidente. - Supposons maintenant que les vecteurs u et v soient non nuls. Dire que les vecteurs u et v sont colinéaires équivaut à dire qu’il existe un nombre réel k tel que u = kv . Les coordonnées des vecteurs

base de V si il est formé de trois vecteurs non coplanaires. u v w P ROPOSITION 3.1 ♥ Coordonnées d’un vecteur dans une base de l’espace − − − − Soit (→, →, →) une base de V . tout vecteur → de V s’exprime comme une combinaison linéaire unique des 3 vecteurs u v w x →, → et → c’est-à-dire : − − − u v w − − − − x u v w ∀x ∈ V , ∃!(α, β, γ) ∈ R3 : → = α→ + β→ + γ→ − − − − Le triplet (α, β, γ) est appelé coordonnées de → dans la base →, →, →). On notera : x u v w   α α − − → β ou → β ou aussi →(α

Les Nombres Complexes Prérequis: Coordonnées cartésiennes/polaires dans le plan réel Trigonométrie (formules + cercle) Résolution d'équation du second degré Exponentielles Introduction: On donne aux élèves des équations du second degré à résoudre pour d'une part vérifier les acquis et d'autre part introduire la notion de nombre imaginaire. Ex: x² = 16 (x-2)² = 0 2x² + 1 = 4 x x² = -1 On présente la solution de la dernière équation d'un point de vue historique (conformément

{ 3} par : f ( x ) = représentative dans un repère (O , I , J). x 2 − 5x + 7 et C sa courbe x −3 1 À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique comme GéoGébra, conjecturer l’existence d’un centre de symétrie K de C et préciser ses coordonnées. 2 Démontrer la conjecture précédente. 6 Séquence 1 – MA12 © Cned – Académie en ligne Solution 1 La figure obtenue à l’aide du logiciel GéoGébra est donnée ci-dessous. On peut conjecturer que la courbe admet le point K( 3 ; 1)

de droite 1) Équation réduite de droite : Soient formule etformuledeux points distincts du plan. (Remarque : ces deux points définissent géométriquement la droite (AB)) Un point M(x;y) appartient à la droite (AB) si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de la forme : formule avec m,p réels, si formule m est alors appelé coefficient directeur de la droite et peut être calculé par la formule, découverte en activité : formule |

l'espace tridimensionnel, est défini de façon analogue comme le rapport de la surface d'une partie d'une sphère sur le rayon au carré. Il s’exprime en stéradian (sr). Cet angle solide est toujours positif et indépendant de la distance r. En coordonnées sphériques, la surface élémentaire à r constant vaut révolution, d’angle au sommet Le demi-espace, engendré par vaut : ∫ ∫ Ainsi, l’angle solide délimité par un cône de ∫ )). , ⁄ radians, correspond donc à un angle solide de ( ). tandis que

projection orthogonale du point F sur la droite (d). Dans le plan (p) on définit alors le repère orthogonal (_O_, (OF), (d)). Soit p la distance de O à F (_p_ s'appelle le paramètre). Dans le repère défini précédemment F a pour coordonnées (_p_,0). Pour un point M de coordonnées (_x_,_y_) on peut exprimer les distances précédentes à l'aide des deux formules suivantes : {draw:frame} {draw:frame} ce qui implique en élevant [1] au carré et en utilisant [2] et [3] : {draw:frame} soit après

x_3}\right) en coordonnées cartésiennes, est un opérateur de dérivation spatiale du 1er ordre. Les opérateurs gradient, divergence et laplacien peuvent s'écrire à l'aide de cet opérateur : \mathrm{div} \; \vec{a} = \overrightarrow{\nabla} \cdot \vec{a} ; \overrightarrow{\mathrm{grad}} \; A = \overrightarrow{\nabla} A ; \Delta \; A = \overrightarrow{\nabla} \cdot \left( \overrightarrow{\nabla} A \right) = \nabla^2 A. [modifier] Expression en coordonnées cartésiennes En coordonnées

les coordonnées du vecteur AB. Expliquez pourquoi le vecteur u1;-3 est aussi un vecteur directeur de la droite ABDéterminez une équation cartésienne de la droite AB. Soit d1 la droite parallèle à la droite AB qui passe par l’origine. Déterminez une équation cartésienne de la droite d1On considère les deux droites d2:-15x-5y+7=0 et d3:x-3y-5=0. Donnez un vecteur directeur de chacune des deux droites d2 et d3Montrez que les deux droites d2 et AB sont parallèles. Déterminez les coordonnées des