Anticipation rationnelle

., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} , dit ensemble des nombres relatifs ou des entiers relatifs, a été introduit pour résoudre l’équation : b + x = a où a et b sont des entiers naturels. L’ensemble Q ( noté aussi Q ou IQ) , dit ensemble des nombres rationnels, a été introduit pour résoudre l’équation : b x = a où a et b sont des nombres relatifs 2 Analyse I SMI & SM S. EL HAJJI 3 avec b 6= 0. Par définition si x ∈ Q alors x = p où p et q sont des nombres q relatifs premiers entre eux

s de base ee On rappelle les divers ensembles de nombres: • N = {0, 1, 2, 3, ...} est l’ensemble des nombres entiers naturels. • Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} est l’ensemble des nombres entiers relatifs. • Q est l’ensemble des nombres rationnels. Par d´ finition si x ∈ Q alors x = e premiers entre eux avec q = 0. p q o` p et q sont des nombres relatifs u Sur chacun de ces ensembles l’addittion + et la multiplication × sont d´ finies; de mˆ me que la relation d’ordre ≤. e e Proposition

Cours d’analyse 1 Licence 1er semestre Guy Laffaille Christian Pauly janvier 2006 2 Table des mati`res e 1 Les 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 nombres r´els et complexes e Nombres rationnels . . . . . . . . . . Nombres r´els . . . . . . . . . . . . . e Densit´ des rationnels et irrationnels e Nombres complexes . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 7 11 11 13 15 15 16 17 17 17 18 18 19 21 21 23 28 29 33 34 39 39 41 42 44 47 48 50 55 55 55 59 61 . . . . . . . . . .

le noyau du système est incompatible parce qu'il a été récrit pour éviter le versement de droit d'auteurs à AT&T grep est de recevoir une expression rationnelle en ligne de commande, de lire les données sur l'entrée standard ou dans une liste de fichiers, et d'écrire les lignes qui contiennent des correspondances avec l'expression rationnelle sur la sortie standard. chmod La commande chmod permet de modifier les droits d'accès sur les fichiers ou répertoires. Les paramètres de chmod se

 e § ¦ – Th´ or` me du retard e e On d´ signe par f t a le signal identique a f t e ` mais retard´ de la dur´ e a. On a : e e 1 A ¤ § ¦ § ¦  F 8 D @1 7 f g F z Gz De mˆ me, si z z 1 F z est une fraction rationnelle e dont les racines du d´ nominateur sont dans le cercle e unit´ alors le signal f k converge pour r e ∞ et on a: z 1 lim f k lim F z z 1 z k ∞ e § ¦ 5 e t ∞ p 0 § ¦  (§ ¦  l 0 l 0 5 k  5 § 

I) Rappels sur les fractions a Une fraction s'écrit : , avec a et b entiers relatifs , b ≠ 0 . b 1) Règle des signes 2) Simplification k×a −a −a a a a a = = − = = (k≠0) b −b b −b b k ×b b 3) Egalité a c = équivaut à a × d = b × c b d 4) Addition. Soustraction a+c a c + = b b b 5) Multiplication a×c a c × = b d b×d 6) Inverse. Division a b L'inverse de la fraction est la fraction . ( a ≠0;b≠0) b a a a c a d ÷ = b = × b d c b c d II) Rappels sur les racines carrées 1) Définition Soit a un nombre

existe un nombre unique x1 entre x et Y tel que f(x1) = Nb cherché Limites FI • • • • +∞ + -∞ 0 x +∞ ou -∞ 0/0 +ou-∞/+ou-∞ La limite en + ou -∞ d'une fonction polynôme est celle de son terme de plus haut degré. La limite en + ou -∞ d'une fonction rationnelle (polynôme/polynôme) est celle du quotient des termes de plus haut degré. Limite fonction composée Fog = g dans f Exemple : g(x) = 2x-3 et f(x) = x², Fog(x) = (2x-3)² Si : lim g(x) = b x→a Et si : lim f(x) = c x→b Alors : lim (fog)(x) = x x→a Asymptotes

x − x 2 + o x 2 Exemple 2 : Q(x) = (1 + x)4 ⇒ Q(x) = 1 + 4 x + 6 x 2 + o x 2 Exemple 3 : Q ◦ P (x) = 1 + 4 (x − x 2 ) + 6 x 2 + o x 2 = 1 + 4 x + 2 x 2 + o x 2 Donc : Q ◦ P (0) = 4 (Pourquoi ?). 3. DL d’une fonction rationnelle Proposition 3.4 Toute fonction rationnelle : f : D = R\Q −1 (0) ⊂ R → R : x → P (x) , telle que Q(0) Q(x) est non nul, admet en 0 un DL à tout ordre n, dont la partie régulière s’obtient en effectuant la division puissances croissantes du polynôme P par le polynôme

CLASSES PREPARATOIRES AUX GRANDES ECOLES TRONC COMMUN DES UNIVERSITES (TCT) FFa SCIENCES TECHNIQUES (ST) semestre 3 (LMD)     MECANIQUE  RATIONNELLE    O → → → z0 , z1 → z2 ψ → • y0 L L/2 R A x0 θ C • → → x1, x2 Cours & exercices résolus    Rappels sur les Vecteurs, Les Torseurs, Statique des Solides, Géométrie des Masses, Cinématique du Point et du Solide, Cinétique et Dynamique des Solides A. KADI UNIVERSITE M’HAMED BOUGARA - BOUMERDES

bε x = a−b ε x=ab ε Par contre, l'ensemble des solutions de l'équation 2 x = 1 et x ε est vide. On peut construire une extension de , appelée corps des nombres rationnels et notée tion précédente possède une solution notée x = 1 . 2 aε , bε ∗ Les équations suivantes possèdent une solution rationnelle x= a b x = a2 aε , dans laquelle l'équa- ε ε Par contre, l'ensemble des solutions de l'équation x2 = 2 et x ε est vide. On peut contruire une extension