Approximation

est dérivable en 1 et déterminer le nombre dérivé f'(1) Exercice 5 : f est la fonction définie sur R par f(x)=x³-2 1) Développer f (2+h) où h est un réel quelconque 2) En déduire que f est dérivable en 2 3) Donner une valeur approchée par approximation affine de f (2,003) 4) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point A d’abscisse 2. 5) Démontrer que pour -1≤h≤1, l’erreur commise en remplaçant f (2+h) par f (2) +hf’ (2) est majorée par 7h².

fonction). Problème proposé : recherche des fréquences propres des modes de vibrations d'une pale d'hélicoptère. (d'après une idée de Philippe FICHOU, Lycée Chateaubriand, RENNES) Les pales d'hélicoptère sont assimilables (en première approximation) à des poutres encastrées au rotor principal et libres à leurs extrémités. Ces pales peuvent entrer en résonance sous l'effet des actions mécaniques aérodynamiques (excitation cyclique), il est donc impératif d'estimer ces fréquences propres afin

signe f(x) – {équation de T} > 0 ? f(x) > {équation de T} ? C au dessous de T f(x) – {équation de T} = 0 ? f(x) = {équation de T} ? point(s) commun(s) de C et T f(x) – {équation de T} < 0 ? f(x) < {équation de T} ? C au dessus de T V Approximation affine et valeurs approchées ( a partir d'un exemple ) a) Donnez l'approximation affine de f(-1+h) où h est un nombre réel très proche de 0 f(-1+h) ? f(-1) + h × f'(-1) [ f(-1) = -3 et f'(-1) = -3 ] donc f(-1+h) ? -3 – 3h pour h ? 0

figure ci dessous. On souhaite obtenir une approximation de la dessous. fréquence fondamentale de la structure par différentes approches. La masse placée en C est noté M. Dans ce mouvement de vibration, on note v(x, t) le déplacement transversal . (direction y) d’une section de la tige située à l’abscisse x (l’origine des abscisses étant prise en A). Les effets de pesanteur sont négligés négligés.  Partie I : Dans un premier temps, on cherche une approximation par analogie avec un système à un degré

encadrement à 10−3 est par exemple ]4.491; 4.498[. Enfin le sinus cardinal au carré en ce point est compris entre 0.0472. exercice : donner, en fonction de p, de la largeur l de I et de a le nombre d’étapes nécessaires pour être sûr d’obtenir une approximation à 10−p près de s par cette méthode. Cette méthode permet de résoudre numériquement des équations du type g(x) = x, autrement dit de déterminer les points fixes de g. Mais en revanche si |g′(s)| > 1, il ne peut y avoir convergence : on dit que

guéris. Déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de 0,95 puis de 0,99. Pour , Pour , Remarques 1. Quand on sait qu’une suite converge vers une limite , on peut considérer que pour assez grand le terme de rang constitue une approximation de . N. Duceux – Lycée Paul Doumer – Année 2012/13 Page 3 Ici, on inverse les rôles. On connaît la limite, mais pas les valeurs des termes de la suite. On admet donc que, sous certaines conditions, on peut approcher le terme de rang

| |[pic] donc [pic] | | 6) Approximation affine de exp(x) au voisinage de 0 : ex = e0 + 1 . x + x ( (x) avec [pic] ex – 1 = x + x ( (x) donc [pic] Théorème : [pic] IV) Dérivées et primitives : 1) Dérivée de eu : Théorème : Si u est dérivable sur un intervalle I , eu est

si la quantité admet une limite finie quand h tend vers 0. Cette limite est appelée nombre dérivé en x0 et notée f '(x0). Remarque : Il ne faut pas écrire « » si l'existence de cette limite n'a pas encore été justifiée. 2. Meilleure approximation affine Théorème 1 f est dérivable en x0 si et seulement si il existe un réel l tel que f(x0+ h) = f(x0) + l h + h(h) avec Alors l = f '(x0). Remarque : on parle d'approximation affine car on remplace la fonction h f(x0 + h) par la fonction

24h + 5h2. 3. La quantité d(t) + 24h est donc une approximation (affine) de d(t + h). Quelle est l'erreur de cette approximation lorsque h = 1 ; h = 0,1 ; h = 0,01 ? Le nombre v tel que d(t + h) = d(t) + vh + 5h2 s'appelle le nombre dérivé de d en t. Ce nombre se note d'(t). Activités sur la dérivation Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ INTRODUCTION AU NOMBRE DÉRIVÉ : APPROXIMATION AFFINE D'UNE FONCTION A) Approximation affine d'une fonction parabolique au voisinage de

M— Michel Fournié O- Intégrales simples 1-Intégrale double 2-Intégrales triples Intégrales doubles et triples - M— Michel Fournié fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 0- Intégrales simples (rappel) M— Michel Fournié O- Intégrales simples Rappels Approximation Définition : Intégrale définie • Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 0 3 2.5 2 1-Intégrale double 2-Intégrales triples 1.5 1 0.5 0 0.5 1 x 1.5 2 2.5 • On peut alors délimiter une surface par : le graphe de f , l’axe