Bissectrice

et de ex . Les pré requis La fonction exponentielle est dérivable , sa dérivée est elle-même Les courbes des fonctions ln x et ex sont symétriques par rapport à la première bissectrice . Les formules de calcul avec ln x La démonstration On note C la courbe de e x et C’ la courbe de ln x . Soit D la première bissectrice Montrons la dérivabilité en 1 Soit B(0 ;1) . Alors B est sur C . Soit T la tangente à C en B . Puisque la fonction exponentielle est dérivable sur R , le coefficient directeur

8 9 10 11 12 13 14 15 En 1440, l’imprimerie typographique est inventée par : ❏ 1. Léonard de Vinci ❏ 2. Gutenberg ❏ 3. Albrecht Dürer Cochez la ou les propositions qui vous semblent justes : ❏ 1. une bissectrice est une courbe ❏ 2. une bissectrice est une droite qui divise un angle en deux parties égales Cochez la ou les propositions qui vous semblent justes : ❏ 1. une concave présente une surface sphérique en creux ❏ 2. une concave présente une surface sphérique en relief

32 GÉOMÉTRIE 9 Triangle et parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 10 Triangle rectangle et cercle circonscrit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 11 Distance – Tangente – Bissectrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 12 Le théorème de Pythagore et sa réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . 50 13 Le théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 14

triangles ayant deux côtés et un angle de même mesure sont isométriques. 3) Deux triangles rectangles ayant la même hypoténuse sont isométriques. 4) Deux triangles rectangles de même hypoténuse ayant un angle aigu égal sont isométriques. 5) La bissectrice de l’angle BAC partage le triangle ABC en deux triangles isométriques. 6) Si [AB] et [CD] sont deux diamètres d’un cercle de centre O, alors AOC et BOD sont isométriques. D. Le FUR 29/ 50 Seconde Chapitre : GEOMETRIE PLANE Exercice

centre du cercle passant par A, B et C est : a) Le point d’intersection des médianes issues de A et B du triangle ABC. b) Le point d’intersection de la médiatrice de [AB] et de la médiatrice de [BC]. c) Le point d’intersection de la bissectrice de BAC et de la bissectrice de BCA da triangle ABC. d) Le point d’intersection des hauteurs issues de B et de A dans le triangle ABC. 2. ABCD est un quadrilatère non croisé (un exemple de quadrilatère non croisé est dessiné cidessous). a) Si AB = CD alors ABCD

hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point (ici H) appelé orthocentre du triangle. B O A Hauteur Bissectrice Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. La bissectrice d’un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure. B H C A Les bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point (ici I) appelé centre du cercle inscrit du triangle. B C I A III/

sur l'intersection d'un axe et du cercle, tout en gardant un écartement égal au rayon. Puis, on trace les arcs de cercle coupant le cercle. On procède ainsi pour chaque intersection axe-cercle, on obtient au total 12 parts égales. Le tracé des bissectrices permet de doubler le nombre de partshttps://fr.m.wikibooks.org/wiki/Fichier:Couper_un_cercle_en_8.svgOn peut encore placer un point entre chaque point déjà placé : on place la pointe du compas sur un des points et l'on trace un arc de cercle à

chaque médiane à partir du sommet dont elle est issue 2 2 2 AG = AA' BG = BB' AG = CC' 3 3 3 B 2 B' C' G C A' http://www.maths-videos.com ► les hauteurs sont concourantes en un point H appelé orthocentre du triangle. A H C B A ► les bissectrices sont concourantes en un point I équidistant des côtés du triangle. I est le centre du cercle inscrit dans le triangle. P I R IP = IQ = IR C B Q A ► les médiatrices sont concourantes en un point O équidistant des sommets du triangle. O est

Activité 2 Savoir tracer la courbe de la fonction ln (à partir de la courbe de exp). Pour débuter La symétrie orthogonale par rapport à la première bissectrice Soit (O , I , J ) un repère orthonormé du plan. On note ∆ la droite d’équation y = x dans le repère (O , I , J ) . Cette droite s’appelle la première bissectrice du repère (la deuxième bissectrice du repère étant conventionnellement la droite d’équation y = − x ). Dans le repère (O , I , J ) : ᕡ Tracer la droite ∆ puis placer les points suivants

b-L’indice de Gini Le coefficient de Gini est un outil déduit de la courbe de Lorenz, couramment utilisé pour mesurer les inégalités. Il correspond au rapport entre la surface comprise dans la courbe de Lorenz, la bissectrice et la surface total du demi carré délimité par la bissectrice. Sa valeur est comprise entre 0 et 1. Plus l’indice se rapproche de 1, plus la distribution est inégalitaire. c-Le revenu médian * Le revenu médian partage la distribution des revenus des ménages en