Décomposition en éléments simples

Intégration de fractions rationnelles: décomposition en éléments simples Dans ce (long) chapitre, on montre comment on trouve une primitive pour toute fraction rationnelle img360.png , où img361.png sont de polynômes. On procède par étapes, en illustrant la théorie à l'aide de l'exemple img362.png La première partie de ce chapitre est plutôt algébrique: nous citons et utilisons ici plusieurs théorèmes importants d'algèbre sans démonstration, qui n'a pas sa place dans ce cours d'analyse.

Tout d’abord, nous avons les règles simples : Z Z Z (f + g)(x)dx = f (x)dx + g(x)dx + C Z Chapitre 4 af (x)dx = a Z f dx + C, si a est une constante. Ensuite (c’est un premier exemple élémentaire de changement de variables), pour toute R constante a si F (x) = f (x)dx, alors Z Z 1 f (x + a)dx = F (x + a) + C, f (ax)dx = F (ax) + C. a Calcul de primitives Remarque : Savez-vous vérifier ce point ? Faîtes le. Nous avons déjà signalé le résultat central du calcul intégral : pour toute fonction

Fiche méthode : méthode par identification des coefficients Niveau : première F. Demoulin 1 Objectifs Cette méthode est utilisée pour factoriser un polynôme ou pour décomposer en éléments simples une fraction rationnelle. On la rencontre dans des questions du type : « Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x de R, f (x) = . . . ». 2 Rappels de cours Dans ce paragraphe, P et Q sont deux polynômes définis sur un même domaine D. £   Définition 2.1 On dit que P et Q sont identiquement

fraction rationnelle : Q . On procède par étapes ; -1er Etape : Si deg(P ) ≥ deg(Q) ; on fait d'abord une division Euclidiènne ona :P = E.Q + R R(x) P (x) Donc on a : Q(x) = E(x) + Q(x) ; avec ; deg(R) < deg(Q) -2eme Etape : On fait la décomposition en éléments simples dans et donc Exemple 1 : Calculer R[x] de R(x) Q(x) . I= x−1 x3 +4x Dans cet exemple on passe diréctement a la deuxième étape : f (x) = Calcule de x−1 x−1 a bx + c = = + 2 3 + 4x 2 + 4) x x(x x x +4 a

4(shu)3 3shu . u Argshx , x R b) Tout le monde sait que : x shu , u R c) Il vient : f ( x) 4. EXERCICE 2. P1 D et P1A et B 1 Décomposition en éléments simples de f ( x) ( x 3) 2 . x 1 x2 2x 5 bx c x 2 Argsh (3x 4x3 ) Argsh (3shu 4(shu)3 ) Argsh (sh(3u)) 3u On peut donc conclure que f ( x) 3u 3 Argshx . On retrouve le résultat due 2. d). Forme de la décomposition : f ( x) E ( x) 0 ) avec E(x)=0. a x 1 car x 2 2 x 5 est non factorisable ( 2x 5 Détermination de a : x=-1 : a =

MPSI/PCSI/ESC Intégration SUP/ESC 1. Méthodes d’intégration 1-1 : Intégrale immédiate 1-2 : Somme ou différence de fonctions 1-3 : Composée de fonction 1-4 : Décomposition en fractions rationnelles 1-5 : Par substitution (changement de variable) 1-6 : Réductions à des formes particulières 1-7 : Intégration par parties 1-8 : Décomposition en série 2. Intégration numérique 2-1 : Méthode des rectangles 2-2 : Méthode des trapèzes 2-3 : Méthode de Simpson 3. Diverses questions 3-1 : Introduction à la

La factorisation des polynômes de degré 3 Pour factoriser un polynôme de degré 3 P(x), il faut : 1) déterminer un nombre k tel que P(k) = 0 2) diviser P(x) par (x – k) 3) utiliser le quotient de la division pour écrire le facteur trinôme 4) factoriser le trinôme si possible Voici un exemple : Factorise P(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 1) P(1) = 0 2) Donc il faut diviser P(x) par (x –1). La division synthétique est utile pour

COURS DE MATHEMATIQUES Fichier .pdf du cours en vid´o du mˆme nom e e Les limites Limite des polynˆmes o Ce cours porte exclusivement sur la notion de limite quand x tend vers ∞, relative aux polynˆmes et aux fractions rationnelles. o 1 L’id´e g´n´rale e e e Intuitivement, dire que la fonction f a pour limite au point a signifie que lorsque x devient de plus en plus proche de a, f (x) devient de plus en plus proche de . On peut mˆme ´crire que : e e − ξ ≤ f (x) ≤ + ξ, aussi petit que

´ Exercices - Residus - Application au calcul ´ d’integrales : ´nonc´ e e Exercice 1 - Calculs de r´sidus - L3/M1 e Calculer les r´sidus aux singularit´s isol´es des fonctions suivantes : e e e f (z) = z2 + z + 1 , z(z 2 + 1)2 g(z) = za , 1−z h(z) = log(z). sin 1 . z−1 On prendra la d´termination principale des fonctions z → z a et z → log(z). e Exercice 2 - Fraction rationnelle - L3/M1 +∞ dx e 1. Soit n ≥ 2 entier. Calculer I = 0 1+xn . On pourra int´grer sur le bord du compact iθ ; 0 ≤

R On avait depuis longtemps la réciproque : toute suite convergente est de Cauchy. On a donc une équivalence. Rappelons que dans implique de Cauchy. il n'y a pas équivalence. La seule implication est convergente Q § Une ¦ dérivée toute simple. trouve donc en plus. ¤ § ¥ ¦√ 1 . 2 + 3.t ¤ ¥ 1 + 3.t. On I.S.14 On nous demande de dériver l'arctangente, puis de calculer cette déruvée en 1 √ . 1 + ( 1 + 3.t)2 On simplie en Et bien sûr, il n'y a pas de terme Je pense hélàs