Formule du binôme de Newton

d’éléments dans B. Les cas favorables sont donc tous ceux qui se trouvent dans A mais aussi dans B. Ça nous laissera donc la formule suivante Si on sait maintenant qu’un événement B s’est réalisé, le nombre de cas possibles se trouve diminué au nombre d’éléments dans B. Les cas favorables sont donc tous ceux qui se trouvent dans A mais aussi dans B. Ça nous laissera donc la formule suivante P(B) B)A( Bdansélémentsd'Nombre BAdansélémentsd'Nombre )/(     P BAP 44C’est la définition que nous utiliserons

dérivées d’ordre quelconques sont majorées par 1, et ceci quelque soit x dans R. On a alors : ∞ (−1)n 2n+1 sin x = x et R = ∞. (2n + 1)! n=0 b) La fonction cosinus : f (x) = cos x = (sin x) = ′ ∞ n=0 (−1)n 2n x , (2n)! et R = ∞. 4) La série du binôme Considérons la fonction x −→ f (x) = y = (1 + x)α , α ∈ R. Son domaine de définition est ] − 1, ∞[. On a une relation simple entre la fonction f et sa dérivée. y = (1 + x)α , on a y′ = α(1 + x)α−1 d’où l’équation différentielle : y′ (1 + x) = αy

PCSI 2009-2010 Programme de Mathématiques Lycée Marceau 1. Fonctions classiques A) Dérivation 1 - Définition. Domaines de définition. 2 - Rappel de quelques formules. 3 - Applications de la dérivation : sens de variation et tangentes. 4 - Dérivation des fonctions composées. 5 - Fonctions continues strictement monotones sur un intervalle. Théorème de dérivation des fonctions réciproques. B) Logarithmes et exponentielles 1 - Rappels sur le logarithme népérien : définition, propriétés algébriques

l’inéquation à une autre plus simple. On prendra souvent comme nouvelle inconnue un groupement intervenant plusieurs fois dans l’équation ou l’inéquation. ➥ Exercices 1.3, 1.8, 1.9 • Reconnaître un développement remarquable, par exemple celui du binôme de Newton. ➥ Exercice 1.1 1 Chapitre 1 • Les nombres réels • Montrer que l’équation se ramène à f (x) = 0, où f est strictement monotone, ce qui établira que l’équation admet au plus une solution. ➥ Exercice 1.4 • S’il y a des radicaux,

un simple calcul b)On a (le calculer) B 2 = 3B c) d'après la question a) B 2 = (A + 4I3 )2 et d'après b) et à nouveau a) 3(A + 4I3 ) = (A + 4I3 )2 comme A et I3 commutent on peut utiliser la formule du binôme de newton soit 3A + 12I3 = A2 + 8A + 16I3 et enn A2 + 5A + 4I3 = 0 d)d'après la formule précédente on peut écrire en factorisant par A (à gauche ou a droite) : A( −1 −1 )(A + 5I3 ) = ( )(A + 5I3 )A = I3 4 4  2 1 −1 1 (A + 5I3 ) = − = 4 4 1 0 1 1 2 1 0 1  1 1  2 = 0 1 d'où A

la faculté d’additionner et de soustraire, les mathématiciens et les autres scientifiques de l’époque ont pu accroître leur efficacité de calcul. Sans l’usage des logarithmes, Kepler n’aurait probablement jamais compris le mouvement des planètes et Newton aurait sûrement omis sa découverte de la loi de la gravité. En quoi toutefois ces logarithmes sont-ils liés au nombre equi nous intéresse plus que tout ? Et bien c’est que ce nombre possède une particularité liée au logarithme. Si à l’époque de

éventualités de B, autrement dit parmi {2; 4; 6}. Il n’y a donc que l’issue "obtenir 6" qui correspond. 1 Et comme on est en situation d’équiprobabilité, on obtient PB (A) = . 3 1 3 1 P (A ∩ B) 1 ➔ Par le calul, on a P (B) = et P (A ∩ B) = donc, d’après la formule : PB (A) = = 6 = . 1 6 6 P (B) 3 2 III.2 Propriétés Propriété 2 Pour tous événements A et B de probabilité non nulle, on a : P (A ∩ B) = P (B)PB (A) = P (A)PA (B). Démonstration : Pour P (B) = 0 et P (A) = 0, on peut écrire : P (A ∩ B) d’où P

très vite un grand nombre de chiffres significatifs. Soit donc à chercher la racine carrée x du nombre strictement positif a x2 = a donc 2 x2 = x2 + a donc 2 x = (x2 + a) / x donc x = (x2 + a) / (2 x) donc x = (x + a/x ) / 2 On obtient la formule : Le calcul peut être commencé avec n'importe quelle valeur différente de zéro. .Exemple avec la racine de 2 en partant de 1 x0 = 1 x1 = (1/2) ( 1 + 2/1) = 3/2 =1,5 x2 = (1/2) ( 1,5 + 2/1,5) = 17/12 ~ 1,4166666 x3 = (1/2) ( 17/12+ 2/(17/12))

probables : Légende : Point à connaitre A voir absolument Notion ou formule clé pour le bac S Fonctions : Revoir les limites des fonctions composées : lim f(g(x)) et lim f(x) +a.g(x) Technique de détermination d’une asymptote  Calcul de la dérivée d’une fonction Formules des dérivées des fonctions usuelles et espaces de définition: Si f(x)= avec nϵR alors f’(x)=n De cette formule découle la formule de la dérivée de la fonction racine carrée (puisque √(x)= ), etc. Attention

versets de la Genèse, sous la forme d’une parole initiale : "Au commencement Dieu créa le ciel et la terre [...]. Dieu dit [...]. " La formule restera courante dans l’Ancien Testament pour exprimer cette activité de création : "Dieu qui a fait le ciel et la terre." Elle est quelquefois complétée par une autre mention : "les êtres visibles et invisibles". Ces deux binômes, ciel et terre, visible et invisible, reposent sur une représentation cosmique du monde tel qu’il se présente à nos yeux. Nous voyons