Formule du binôme de Newton

I.1.9 I.1.10 Définition des dérivées . . . . . . . . . . . . Propriétés des dérivées . . . . . . . . . . . . Fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . Fonctions trigonométriques réciproques . . Formule des accroissements finis . . . . . . Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . Infiniment petit . . . . . . . . . . . . . . . . Développements limités-définition et calcul Développements limités-applications . . . . . . . . . . . . . . .

Notations 4.2.1. On note eiθ + e−iθ eiθ − e−iθ et sin θ = Im (eiθ ) = 2 2i On appelle les deux dernières égalités les formules d’Euler. exp z = ez , cos θ = Re (eiθ ) = Remarque 4.2.1. On retiendra de cette formulation que pour montrer des relations sur les fonctions cos et sin le passage à l’exponentielle complexe est naturel ! Dans le partie suivante, on trouvera une liste des formules de trigonométrie à savoir par coeur, ou au moins à savoir retrouver sans hésitation. Une conséquence importante de

de particules identiques et indivisibles appelées atomes. Démocrite Philosophe grec, originaire d'Abdère, Thrace, aujourd'hui en Turquie, Cicéron rapporta que, « poussé par le désir de s’instruire », il fit de nombreux voyages, et parvint à formuler une explication rationnelle de la nature qui fut reprise par Épicure et ses successeurs. Il passe pour avoir écrit cinquante-deux ouvrages, traitant de l’éthique, de la physique, des mathématiques, de la musique et des techniques. Il est difficile

4. Ainsi i^n=i^(4q+r)=〖(i^4)〗^q×i^r=i^r Exemple : i^2008=i^(4×502+0)=i^0=1 ; i^2011=i^(4×502+3)=i^3=-i Identités remarquables 1-z^n=(1-z)(1+z+z^2+⋯+z^(n-1)+z^n )⟺1+z+z^2+⋯+z^(n-1)+z^n=(1-z^n)/(1-z) ,z≠1 Formule du binôme de Newton et Triangle de pascal NB : les coefficients : peuvent être calculé par le triangle de pascal ci-dessous : Exercice d’application 3: Résoudre dans C l’équation :(3iz+2-i)((1+i)z-1+i)=0 Résoudre dans C X C : {█(2z_1-z_2=i@-2z_1+3iz_2=17)┤

Huntington Theatre Company [archive] sur Playbill.com Lumières (philosophie) Les Lumières sont un mouvement culturel et philosophique qui émerge dans la seconde moitié du XVIIe siècle sous l'impulsion de philosophes comme Spinoza, Locke, Bayle, Newton et Voltaire, avant de se développer dans toute l'Europe, et notamment en France, au XVIIIe siècle. Par extension, on a donné à cette période le nom de siècle des Lumières. Par leur engagement contre les oppressions religieuses, thomasiennes et politiques

l’inéquation à une autre plus simple. On prendra souvent comme nouvelle inconnue un groupement intervenant plusieurs fois dans l’équation ou l’inéquation. ➥ Exercices 1.3, 1.8, 1.9 • Reconnaître un développement remarquable, par exemple celui du binôme de Newton. ➥ Exercice 1.1 1 Chapitre 1 • Les nombres réels • Montrer que l’équation se ramène à f (x) = 0, où f est strictement monotone, ce qui établira que l’équation admet au plus une solution. ➥ Exercice 1.4 • S’il y a des radicaux,

chaque partie {?1 , … , ? ? } de ?? correspond ?! arrangements, donc ? ?? = ?! ? ?? où ? ?? est le nombre des combinaisons de ? éléments de ?? . On a : ? ?? = ?! ?! ?−? ! . ?+1 Formule fondamentale : ? ?? + ? ??+1 = ? ?+1 . (la vérifier !) Triangle de Pascal : le dessiner ! Formule du binôme de Newton : l‟écrire et la prouver par récurrence ! Application : si ????? = ?, ????? ????? ? = 2 ? (partir de (1 + 1) ? = ⋯ ) Définition : Un ensemble ? est dit fini si le nombre de ses éléments

dérivées d’ordre quelconques sont majorées par 1, et ceci quelque soit x dans R. On a alors : ∞ (−1)n 2n+1 sin x = x et R = ∞. (2n + 1)! n=0 b) La fonction cosinus : f (x) = cos x = (sin x) = ′ ∞ n=0 (−1)n 2n x , (2n)! et R = ∞. 4) La série du binôme Considérons la fonction x −→ f (x) = y = (1 + x)α , α ∈ R. Son domaine de définition est ] − 1, ∞[. On a une relation simple entre la fonction f et sa dérivée. y = (1 + x)α , on a y′ = α(1 + x)α−1 d’où l’équation différentielle : y′ (1 + x) = αy (2

dérivées d’ordre quelconques sont majorées par 1, et ceci quelque soit x dans R. On a alors : ∞ (−1)n 2n+1 sin x = x et R = ∞. (2n + 1)! n=0 b) La fonction cosinus : ∞ f (x) = cos x = (sin x) = ′ n=0 (−1)n 2n x , (2n)! et R = ∞. 4) La série du binôme Considérons la fonction x −→ f (x) = y = (1 + x)α , α ∈ R. Son domaine de définition est ] − 1, ∞[. On a une relation simple entre la fonction f et sa dérivée. y = (1 + x)α , on a y′ = α(1 + x)α−1 d’où l’équation différentielle : y′ (1 + x) = αy

un entier  2. Les événements A1, A2, …, An forment une partition de Ω si les trois conditions suivantes sont réalisées : ▪ pour tout i ∈ {1 ; 2 ;… ; n}, Ai ≠ 0. ▪ pour tous i et j (avec i ≠ j) de {1 ;2 ;…n}, Ai ∩ Aj ≠ ∅. ▪ A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An = E. Formule des probabilités totales Soient A1, A2, …, An une partition de l’univers Ω constituée d’événements de probabilités non nulles et B un événement quelconque contenu dans Ω. Alors : p(B) = p(B ∩ A1) + p(B ∩ A2) + … + p(B ∩ An) Ou p(B) = pA1 (B ) × p(A1