Identité remarquable

(a+b)²=a²+2ab+b² En mathématiques, on appelle identités remarquables ou encore égalités remarquables certaines égalités qui s'appliquent à des nombres. Elles servent en général à accélérer les calculs, à simplifier certaines écritures, à factoriser ou à développer des expressions. Elles servent pour la résolution des équations du second degré et sont plus généralement utiles pour la recherche de solutions d'équations[Note 1]. La plupart de ces identités remarquables ont tout d'abord été démontrées à l'aide

3ème – Chapitre 06 Identités remarquables IDENTITES REMARQUABLES identités remarquables Si a et b désignent des nombres ou des expressions, on a : 2  a  b   a 2  2ab  b2  a  b   a 2  2ab  b2  a  b  a  b   a 2  b 2 2 développer factoriser Exemples 1) Développer : a) (1  2 x) 2 b) (2  3x)(2  3x) c) (5 x  2) 2 a) L'expression proposée est la deuxième identité remarquable avec a  1 et b  2 x . On a donc : (1  2 x) 2  12  2  1 2 x  (2 x) 2  1  4

RECAPITULATIVE IDENTITES REMARQUABLES Identités remarquables Théorème: Soient a et b des nombres réels : Il faut connaître ces résultats par cœur! Exemples: _ Développer (x + 3)² On reconnaît l’identité (a + b)², avec a = x et b = 3 On obtient : (x + 3)² = x² + 6x + 9 _ Développer (3x – 2)² On reconnaît l’identité (a - b)², avec a = 3x et b = 2 On obtient : (3x – 2)² = 9x² – 12x + 4 Attention, le carré de 3x est 9x². _ Développer A = (2x – 3)(2x + 3) On applique la 3ème identité avec a = 2x et

CHAP 3 IDENTITES REMARQUABLES .CALCULS ALGEBRIQUESREVISION /Pour prendre un bon départ. Page 91I Calcul algébrique et identités remarquablesPropriété 1Distributivité● Pour tous nombres réels a,b et k , on a : k(a+b) = ka +kb●Pour tous nombres réels a,b,c et d : (a+b) (c+d) = ac+ad+bc+bdRemarque Ces règles permettent généralement de développer une expressionLa règle de distributivité permet de factoriser si un facteur commun est apparent dans une sommePropriété 2 Identités remarquablesPour tous

MathsLes identités remarquables · ( a + b )2= a 2+2 ab + b 2 · ( a − b )2= a 2−2 ab + b 2 · ( a + b )( a − b )=

Ecriture Littérales I. Développement (révisions) Définition : Développer un produit, c'est le transformer en une somme ou une différence. Propriété : Pour tous nombres a, b, c, d et k, on a : II. Identités remarquables 1. Carré d'une somme Propriété : Pour tous nombres a et b, on a : (a + b)² = a² + 2ab + b² Démontrons ce résultat : Par le calcul, en utilisant la double distributivité : (a + b)² = (a + b)(a + b) = a × a + a × b + b × a + b × b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab +

Fiche méthode sur la forme canonique Rappels sur les identités remarquables Pour réussir à mettre une expression sous forme canonique , il faut connaître et savoir manipuler parfaitement les identités remarquables Exemple Mais il faut aussi savoir factoriser une expression donnée : Exemple Factoriser : On remarque d’abord qu’il y a un « moins » donc il s’agit de l’identité remarquable Ensuite , on associe chacun des termes ( les morceaux) : on voit immédiatement que le « a » correspond au « x »

On dit que la multiplication est distributive par rapport à l’addition (ou la soustraction). Dans l’exemple, on a distribué la multiplication par x sur les termes 4 et y. 2) Double-distributivité DEVELOPPER Propriété : FACTORISER 3) Identités remarquables Propriété : Pour tous nombres réels a et b, on a : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a + b)(a – b) = a2 – b2 Exemples :  3x  5   3x   2  3x  5  52  9 x 2  30 x  25 2 2  2 x  1 2 x  1   2 x  2 

C(x)=(2x-3)(4x+5)-(5x+1)(2x-3) C(x)=(2x-3)[(4x+5)-(5x+1)] C(x)=(2x-3)(4x+5-5x-1)] C(x)=(2x-3)(-x+4) Identités Remarquables Normale: Sens inverse: ↔ (a+b)2=a2+2ab+b2 ↔ a2+2ab+b2 =(a+b)2 ↔ (a-b)2=a2+2ab-b2 ↔ a2+2ab-b2 =(a-b)2 ↔ (a+b)(a-b)=a2-b2 ↔ a2-b2 =(a+b)(a-b) Application: *Développer (en utilisant les identities remarquables) les expressions suivantes: A(x)=(3x+5)2 A(x)=9x2+30x+52 A(x)=9x2+30x+25 B(x)=(5-7x)2 B(x)=52+70x-49x2

IDENTITES REMARQUABLES Un certain nombre d’identités sont remarquables et doivent être sues par cœur (tout au moins celles qui sont encadrées), parce qu’on les utilise constamment dans les calculs. En fait, ces identités ne sont que des applications des opérations que nous venons d’étudier et s’établissent aisément. On notera cependant, pour bien comprendre la nécessité absolue d’apprendre par cœur ces identités, que s’il est facile de développer par exemple (A − B) (A + B) et (A − B) (A2 + AB +