Logarithme naturel

Séquence 5 La fonction logarithme népérien Objectifs de la séquence ̈ Introduire une nouvelle fonction : la fonction logarithme népérien. ̈ Connaître les propriétés de cette fonction : sa dérivée, ses variations, sa courbe, sa relation fonctionnelle. ̈ Apprendre à utiliser la relation fonctionnelle pour transformer une écriture ou pour résoudre des équations. Sommaire 1. Pré-requis 2. Premières notions sur la fonction logarithme népérien 3. Courbes des fonctions exp et ln 4. Dérivée et tableau

FONCTIONS EXPONENTIELLES - FONCTIONS LOGARITHMES 1. De la fonction exponentielle (de base e) à la fonction logarithme népérien 1.1. Théorème La fonction exponentielle (de base e) est continue, strictement croissante sur  et : lim ex = 0 et x ® -¥ lim ex = +¥ x ® +¥ Démonstration : · Continuité La fonction exponentielle est solution, sur , de l'équation différentielle y' = y. Elle est donc nécessairement dérivable sur  et par conséquent continue sur . · Stricte monotonie La

Tableau de variations de h D'après les questions précédentes : x h '(x) h(x) 0 – +∞ e 0 + +∞ +∞ 0 On a h(e) = e − e ln(e) = e − e = 0. D’après ce tableau h(x) = 0 ⇐⇒ x = e. L’équation Ee, xe =e x est équivalente (en appliquant le logarithme népérien) à e ln(x) = x ⇐⇒ h(x) = 0. Conclusion : l’équation Ee a une solution unique e. II Résolution de l’équation Ea 1. Soit x un réel strictement positif. Montrer que x est solution de l’équation Ea si et seulement si x est solution de l’équation

Fonction logarithmique               Fonction exponentielle | * Nom de la fonction : logarithme népérien * Notation : Log, et plutôt : ln, de nos jours (logarithme népérien) * Étymologie : du grec logos = science, logique, raison et arithmos = nombre. Neper : logarithme, Huygens : logarithmique, Euler : nombre de Neper, népérien, forgés sur Neper). * Ensemble de définition : R+* = ]0 ,+ [ Périodique : non. * Fonction dérivée : (ln x)' = 1/x. * Nom de la courbe associée

devient qa+b = qa×qb. On retrouve la règle de calcul sur les puissances étudiée au collège ! De là, découlent les six propriétés suivantes : Propriétés : Soit q un nombre strictement positif. Soit x, a et b des nombres réels. Soit n un entier naturel. qa • q0 = 1 a-b • q = b q 1 • q-a = a x q • q >0 • • (q ) x 2 q = qx = q nx x n Cette propriété généralise les propriétés sur les puissances apprises au collège. Elles ne sont plus uniquement valables pour les entiers, mais pour

Devoir – Logarithme Népérien Exercice 1: Soit f la fonction définie par f  x = ln x 1 x sur ]0 ;∞[ 1) a) Calculez la limite en 0 de f . b) On admet que la limite de f en ∞ est 0. Quelles conséquences graphiques peut-on déduire de ces limites? ln x  2) a) Montrer que f '  x=− 2 x f '  x puis dressez le tableau des variation de f . b) Etudiez le signe de 1 1 3) a) Calculez f et f ' et en déduire l'équation de la tangente à Cf au point e e 1 d'abscisse . On notera T cette tangente.

strictement positif -  +  5. La représentation graphique de la fonction logarithme népérien admet une asymptote verticale une asymptote horizontale une tangente horizontale 6. eln x = x pour tout appartenant à ]0 ; + [ [0 ; + [ 7. Soit un réel a, ln(ea) – 2e + ln(1) = ea – 2e + e ea – 2e a – 2e 8. Soient et des réels strictement positifs, eln a + e - ln b = - ab a – b 9. Une primitive de la fonction logarithme népérien sur [0 ; + [ 10. Pour tout réel strictement inférieur

l'arbre de probabilités pour calculer la probabilité de tirer deux boules de couleurs différentes. 3°) En déduire la probabilité de tirer deux boules de même couleur. Exercice 1 1°) Quelle est la fonction dérivée de la fonction logarithme (notée ln) sur ]0 ;+([ ? Justifier le sens de variation de cette fonction sur son ensemble de définition. 2°) On sait que ln2( 0,693 et que ln7( 1,946 . Sans utiliser de calculatrice précisez si l'équation ln x=1,5 admet une

FONCTION LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES CORRIGES Exercice n°1. 1) Exprimer en fonction de ln 2 les nombres suivants : A = ln 8 B = ln 2) Exprimez en fonction de ln 2 et ln 3 les réels suivants : a = ln 24 1 16 1 C = ln16 2 c = ln 8 9 1 1 D = ln 2 4 b = ln144 1 2 3) Ecrire les nombres A et B à l'aide d'un seul logarithme : A = 2ln 3 + ln 2 + ln 1 B = ln 9 − 2ln 3 2 Exercice n°2. Compléter le tableau suivant, à partir de certaines valeurs (arrondies à 0,1) près de la fonction logarithme népérien

| |Dans un repère orthonormal, la représentation graphique de la fonction exponentielle(exp(x) = ex ) est symétrique de celle de la | |fonction logarithme népérien (ln) par rapport à la droite d’équation y = x. | Propriétés des fonctions exponentielles Tous les résultats des calculs demandés seront donnés arrondies au millième. Compléter