Bijection réciproque

Astucieux ! - L1/Math Sup - ?? ex = P100 k=1 xk k! + o(x100). Exercice 7 - Développement limité d’une fonction réciproque - L1/Math Sup - ?? 1. Calculer f0 et appliquer les théorèmes du cours. 2. f est impaire. 3. Écrire f−1(x) = a1x + a3x3 + a5x5 et utiliser que f  f−1(x) = x en composant les développements limités. Exercice 8 - Développement limité d’une fonction réciproque - L1/Math Sup/Oral Mines - ?? Posons g = f−1(x). Justifier que g admet un développement limité d’ordre 3. Puis,

limite. Exercice 9 : Soit fx=-1+x1-x2 ; x∈ -1, 1. A/ 1/ a- Etudier les variations de f. b- Montrer que l’équation fx=x admet dans -1, 1 une unique solution α et que α>45 c- Déduire le signe de f(x)-x. 2/ Déduire que f réalise une bijection de -1, 1 sur un intervalle J que l’on précisera. 3/ Construire dans un repère orthonormé les courbes l et l' respectivement de f et f-1 . 4/ Expliciter f-1x , x∈J. 5/ Soit u la suite définie sur IN par u0∈0,α et un+1=f-1un. a- Montrer

4.4.1 Notion de fonction continue . . . . . . . . . . 4.4.2 Équation de la tangente en un point . . . . . 4.4.3 Opérations sur les fonctions dérivables . . . . 4.4.4 Dérivabilité et sens de variation . . . . . . . . 4.4.5 Dérivation de la bijection réciproque . . . . . 4.4.6 Dérivée seconde, concavité, inflexions . . . . . 4.4.7 Dérivées d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Exponentielle, logarithme népérien . . . . . . 4.5.2 Fonctions

x ) g ( n − k ) ( x ) avec la convention habituelle f (0) (x ) = f (x ) . Les nombres C nk sont ceux qui interviennent dans la formule du binôme de Newton. 6°/ Fonctions réciproques : Le théorème des fonctions inverses Si f : I → J est dérivable, bijective et si f ′ ( a ) ≠ 0 pour un élément a de I, la fonction réciproque g = f −1 est dérivable en f(a) et g ′ ( f ( a )) = 1 (Théorème des fonctions inverses). f ′(a ) Cela est assez clairement illustré par les représentations graphiques de f et

ln est une bijection strictement croissante de R∗ sur R. + Formules: ( srce = sous réserve des conditions d’existence ): ln ab = ln a+ ln b ln a = ln a− ln b b 1 ln a = ln 1− ln a = − ln a ln 1 = 0 ln ar = r ln a pour tout r´el r ln e = 1 e Dérivée (srce): (ln x) = ′ 1 >0 x u (x) [ln(u(x))]x = u(x) ′ ′ Dérivée logarithmique (srce): Limites: lim0+ ln x = −∞ lim+∞ ln x = +∞ 1.2 Fonction exponentielle népérienne. La fonction exponentielle népérienne x → ex est une bijection stricte∗ ment

Expérimentales Hr S«i*ISSI SEHM • 23.f2.t2.I2 L -J THEOREME DE LA BIJECTION Si une fonction f est strictement monotone sur un intervalle I alors: • f est une bijection de l'intervalle I sur f ( I ). • la fonction réciproque f ~' de fa le même sens de variation que f. Si de plus, la fonction f est continue sur I, alors la fonction réciproque f ~' de f, est une bijection continue de l'intervalle J = f ( I ) sur I. Remarque : pour tout x e / et y e J ,

fonction de R dans R vérifiant : ∀(x, y) ∈ R2 , |f (x) − f (y)| ≤ |x − y|2 1. Montrer que f est continue sur R. 2. Montrer que f est dérivable sur R et ∀ x, f (x) = 0. 2 Dérivabilité de bijection réciproque Exercice 7 Soit f : x −→ x3 + x. 1. a) Montrer que f est bijective de R dans R, notons g sa bijection réciproque. Donner une relation liant x et g (x). b) Montrer g est continue et dérivable sur R, et exprimer g en fonction de g. c) Montrer que g est de classe C ∞ . 2. Déterminer limg, puis montrer

Préciser graphiquement le nombre de solutions de l'équation , f(x) = m 9°) h est la restriction de f à l'intervalle k = * Montrer que h définie une bijection de K sur un intervalle L à préciser. * En déduire que l'équation , h (x) = 0 admet une solution unique * Vérifier que * Déduire du a) que h admet une bijection réciproque h- 1dont on précisera l'ensemble de définition et le sens de variation. * Quelle est la valeur h- 1(0) ? Justifier que h- 1est dérivable en 0 et calculer

déduire que[pic] c) Montrer alors que F est dérivable à droite en 0 et que F’d (0)= - 1. 2) a) Montrer que[pic]. b) En déduire que : 0[pic]. 3) Montrer que F est dérivable sur[pic]et calculer F’(x)[pic]. 4) a) Montrer que F réalise une bijection de[pic]. b) Etudier la dérivabilité de F -1 sur[pic] . EXERCICE N°4 : Soit f et g feux fonctions définies sur[pic] n désigne un entier naturel supérieur ou égale à 2. 1/ a) Montrer que[pic]. b) Démontrons que[pic]. 2/ On pose S[pic]

croissante sur R. Le nombre e. Notation xe On désigne le réel exp(1) par la lettre e. On convient de noter xe pour exp (x), pour tout x réel. II - Fonction logarithme népérien Théorème et définition La fonction exp réalise une bijection R de sur ]0, + ∞[. Sa bijection réciproque, fonction de ]0, + ∞[ dans , est appelée fonction logarithme népérien et est notée ln. Propriétés immédiates La fonction ln est strictement croissante sur ]0, + ∞[. ln 1 = 0 ; ln e = 1. La fonction ln est strictement négative