Loi de Student

les réponse(s) juste(s) A) La variable étudiée est une variable qualitative discrète. B) Quand une variable X suit une loi Normale, le mode, la médiane et l'écart-type sont égaux. C) La moyenne d'années de vie gagnée est égale à 14 années. D) La variance ( Var(X) = s  X 1 / 2 ) est égale à 17,5 années². E) En faisant l' hypothèse que le nombre d' années de vie gagnées suit une loi normale N(m,s) la probabilité de gagner plus de 17,5 années de vie est d' environ 16 %. QCM 2 : Cochez la ou les réponse(s)

77 77 78 83 83 84 85 87 91 91 92 94 95 95 97 101 101 102 102 104 105 6 Estimation non param´trique de quantit´s r´elles e e e 6.1 Les outils de la statistique non param´trique . . . . e 6.1.1 Statistiques d’ordre et de rang . . . . . . . . 6.1.2 Loi de probabilit´ empirique . . . . . . . . . e 6.2 Estimation de l’esp´rance d’un ´chantillon . . . . . e e 6.2.1 Estimation ponctuelle . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . 6.3 Estimation de la variance d’un ´chantillon

.......... Lois de probabilités classiques en statistique................................. Loi normale unidimensionnelle.................................................................. Loi du khi-deux ............................................................................................ Loi de Student.............................................................................................. Loi de Fisher-Snedecor.........................................................................

prenant un échantillon de 220 bouteilles. Les résultats obtenus sont : x = 10,3 mg/litre et s = 0.8 mg/litre. Calculer le nouvel intervalle de confiance au niveau 95%. Quelle est la précision de cette estimation ? ANNEXE : FRACTILES DE LA LOI DE STUDENT 

e e 2.1.1 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Loi hyperg´om´trique . . . . . . . . . . . . e e 2.1.4 Loi de Poisson ou loi des ´v´nements rares e e 2.1.5 Loi binomiale n´gative . . . . . . . . . . . e 2.1.6 Loi de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Quelques lois de probabilit´ continues . . . . . . . e 2.2.1 Quelques d´finitions pr´liminaires . . . . . e e 2.2.2 Loi normale ou de Laplace Gauss . . . . . 2.2.3 Loi du χ2 .

σ2(X'X)-1) βi -βi svii ~N(0,1) Avec s2=1n-p'i=1n(Yi -Yi)2=MSE βi -βi svii1S2(n-p')i=1n(Yi -Yi)2=ZXn-p' /(n-p') ------------------------------------------------- βi∓tn-p',α/2svii Si α=5% et n≥30 on peut approcher la loi de student par la loi normale. ------------------------------------------------- IC1-α(βi )=[ βi-1,96. S (βi); βi+1,96. S (βi)] 32 | 102952 | 7383,1 | 4694 | 90 | 102952 | 360901070 | 27091488,8 | 16471744 | 310502 | 7383

variance empirique des estimateurs des MCO : σ2 = σ2 ε β 1 1 + n x2 2 i (xi − x) et σ 2 = β 2 σ2 ε (xi − x)2 i Ainsi, ces derniers suivent la loi de probabilité suivante :  β1 N β 1 , σ2 ε 1 + n  x2  et β 2 2 i (xi − x) N β2, σ2 ε (xi − x)2 i Comme toute variable aléatoire centrée réduite suit une loi normale de paramètres N (0, 1), on en déduit que β1 − β1 β − β2 et 2 σβ σβ 1 2 N (0, 1) 2 Les estimateurs théoriques des variances empiriques des

rejette l’hypothèse nulle. d) β = P (7.65 ≤ ͞x ≤ 8.35 │H1 : µ = 7.8) À l’aide de la transformation centre réduite on a : β = P (7.65 – 7.8 ≤ Z ≤ 8.35 – 7.8) 1.5/√70 1.5/√70 β = P(-0.84 ≤ Z ≤ 4.74) Si on utilise la table de la loi normale centrée réduite, on trouve P(0 ≤ Z ≤ -0.84) = 0.5 β = P(-0.84 ≤ Z ≤ 4.74) = P(0 ≤ Z ≤ 4.74) - P(0 ≤ Z ≤ -0.84)=0.5-0.2995=0.2005 Le risque d’accepter à tort l’hypothèse nulle µ = 8 alors que la vrai moyenne est 7.8 est seulement de 2 chances

UNIVERSITE PARIS OUEST NANTERRE LA DEFENSE Licence de gestion 3ème année STATISTIQUES Mme CHEZE cheze@u-paris10.fr TABLES STATISTIQUES Loi binomiale Loi normale Loi de Student Loi du khi-deux Loi de Fisher Fonction de r´partition de la loi normale centr´e r´duite e e e (probabilit´ F(z) de trouver une valeur inf´rieure ` z) e e a z 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 0,00 0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554

. . . . . . e 2.4 Lois discr`tes finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.4.1 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Loi Binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Loi hyperg´om´trique . . . . . . . . . . . . . . . e e 2.5 Lois discr`tes infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.5.1 La Loi G´om´trique . . . . . . . . . . . . . . . e e 2.5.2 La Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Variables al´atoires continues . . . . .