Loi normale

répartition ( si elle existe) : dFX fX = dx UCL Devolder 6 1. Probabilités - exemple 1 :variable aléatoire normale ( ou gaussienne) : Une variable aléatoire X est distribuée normalement N(m, σ 2 ) si sa fonction de densité existe est donnée par : − 1 fX (x) = e σ 2π UCL Devolder ( x −m )2 2σ2 7 1. Probabilités - exemple 2 :variable aléatoire log normale : Une variable aléatoire Y est distribuée log normalement log N(m, σ 2 ) si il existe une variable aléatoire X

brownien ordinaire_______________________________ 30 2.1. L’ efficience des marché s ___________________________________________________________ 30 2.2. Discontinuité des prix _____________________________________________________________ 32 2.3. Loi normale _____________________________________________________________________ 33 2.4. Les grandes fluctuations ___________________________________________________________ 35 Chapitre 3. Particularités des chroniques financières ________________________________

2000 2500 3000 1 2 3 4 5 6 1. Quelles sont les probabilités associées aux différentes branches ? 2. Quelle est l’espérance mathématique, l’écart-type et le coefficient de variation des VAN possibles ? 3. A supposer une distribution normale des VAN, quelle est la probabilité que la VAN de ce projet soit inférieure à zéro ? Exercice 7 : La société Century doit effectuer un important investissement pour lequel elle a trois alternatives. Les analyses prospectives permettent de dire

Comparaison d’une moyenne à une valeur donnée par Student µ = µ0 Loi normale et n tα rejet de H0 Comparaison d’une moyenne à une valeur donnée par l’écart réduit µ = µ0 N’importe quelle loi et n ≥ 30 Loi normale centréeréduite t obs = t obs > tα rejet de H0 ou p-value < α rejet de H0 Echantillons indépendants Comparaison de 2 moyennes observées par l’écart réduit µ1 = µ 2 n1, n 2 ≥ 30 Loi normale centrée réduite t obs = m1 − m 2 − 0 t obs > tα ( S1

on a deux cas : (ça dépend des types des échantillons) (a) Non Exaustif : Avec Remise 2 V ar(X) = n = p X n (b) Exaustif : Sans Remise (Taille N sera donnée) 2 N n n N r 1 N n = p N 1 n V ar(X) = X 3. La loi de X : Pour la loi de X on a deux cas (ça dépend de ) (a) Si (ou 2 ) connue (Donnée) : Non Exaustif : Avec Remise N (m; p ) n X m X Donc T = p N (0; 1) n Exaustif : Sans Remise N (m; p X Donc T X = p n n r m N

numéro de l'observation dans la catégorie i |[pic] : effet dû à la catégorie i | |[pic] : kième dépense de la catégorie i |[pic] : résidu aléatoire suivant une loi normale N[pic] (et | | |indépendant des autres résidus aléatoires). | Objectif : tester l’effet de la catégorie d’agglomération. H0 : (1=(2=(3=0

suit une e distribution normale d’esp´rance 100 et d’´cart-type 25 e e 3. La d´cision financi`re en situation de risque e e • Etablir la distribution: approche objective vs. subjective • Objective: s´ries temporelles ⇒ distribution de fr´quence ⇒ e e distribution de probabilit´ e • Exemple: 50 observations du rendement mensuel rM d’une action rM -2% 0% 2% 4% 6% 2% fr´q. e 5 10 20 10 5 50 ⇒ prob. 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 1 • Exemple: Les rendements suivent une loi normale N (0.02, 0.00048) ⇒

Poujol, Laurent Bertrandias Livre_7490.indb 34 21/10/10 15:40 On mesure la symétrie et la forme de la distribution par l’asymétrie et l’aplatissement. Le coefficient de symétrie (skewness) mesure l’asymétrie d’une distribution. Une distribution normale est symétrique (voir figure 2.4), c’est-à-dire que les valeurs sont les mêmes de part et d’autre du centre de la distribution, et possède une valeur de skewness de 0. Une distribution avec un skewness positif significatif est une distribution asymétrique

variance θ le vecteur de ses autres caractéristiques La loi de X, est notée L. Elle dépend de μ,τ,θ. On écrit : X L(μ,τ2,θ) Exemple : Si X suit une loi normale, on écrit : X N(μ,τ2) Si X suit une loi de position. X P(λ) Définition : Soient X1, X2, X3,… ,Xn des extraits aléatoires issus de la loi de X. On dit que le n-uplet (X1, X2, X3,… ,Xn) est un échantillon i.i.d. si chacune des n va Xi, i=1,2,… ,n, est généré selon la loi de X (Xi L(μ,τ2,θ) de manière indépendante Exemple :

46 – 14,56) et (34,46 + 14,56) soit entre 19,90 et 49,02 euros → la disparité des prix entre les points de vente est plus forte à Paris qu’à Bruxelles Rappel sur l’utilité de l'Ecart - Type : Si la répartition des effectifs suit une Loi Normale dite "Loi de GAUSS", alors on peut considérer que : - dans la tranche ([pic] - ; [pic] + ), on recense environ 68,27 % des effectifs totaux - dans la tranche ([pic] - 2 ; [pic] + 2 ), on recense environ 95,45 %