Loi normale

(iid) et suivent une loi normal d’espérance nulle est de variance constanteσ2). 1.1 Test d’hypothèse BB gaussien : Maintenant on est amené à tester l’hypothèse du bruit blanc gaussien sur la série rendement : * L’hypothèse de Normalité (Queues de distribution épaisses) L’hypothèse de normalité des rendements est généralement rejetée. Les queues des distributions empiriques des rendements sont généralement plus épaisses que celles d’une loi gaussienne. On parle

E(ԐtԐt’) = 0 pour tout t ≠ de t’ * Homoscédasticité des erreurs : V(Ԑt) = E(Ԑt2) = σԐ2 pour tout t Bruit blanc : processus de moyenne nulle, de variance constante et non autocorrélé ≠ l’hétéroscédasticité : V(Ԑt)≠constante. * Ԑt suit une loi normale d’espérance nulle et de variance constante : Ԑt ~N (0, σԐ2) 2. Estimation des paramètres (MCO) Principe  * Objectif : à partir des observations, quantifier la relation entre X et Y en estimant a et b (paramètres inconnus) * Un

électronique légère situé dans la région de Montréal. Le groupe MACHÉLO engage des vendeurs qu’il paie à la commission pour écouler les machines produites par le groupe. Les commissions annuelles gagnées par les vendeurs de machines obéissent à une loi normale, avec une moyenne de 50 000 $ et un écart type de 8 000 $. 1 . Quel est le pourcentage des vendeurs qui gagnent plus de 55 000 $ en commission par an? (5 points) 2 . Quel est le pourcentage des vendeurs qui gagnent entre 40 000 $ et 65 000

d’un coefficient β et de la série X. Calculez dans une cellule la somme des carrés des résidus, . Faites varier β de 0,6 à 1,2 et plus essayez de repérer quelle valeur de β correspond au minimum de. 3- Propriétés des résidus : εi suit une loi normale centrée réduite Le terme aléatoire ε tient un rôle très important dans la régression. Il permet de résumer toute l'information qui n'est pas prise en compte dans la relation linéaire que l'on cherche à établir entre Y et X c.-à-d. les problèmes

069 Percentiles 25 31,00 12,00 17,00 50 47,00 14,00 20,00 75 62,00 17,00 23,00 COMMENTAIRES : Nous remarquons que la médiane(deuxième quartile) est du même ordre de grandeur que la moyenne on peut dire que probablement la distribution est normale autour de la moyenne. Il suffit aussi de voir si les données sont symétriques pour aller dans le même sens ou pas dans les présomptions de normalité. Dans ce cas le coefficient de symétrie de Skewness Skewness ,091 ,004 -,645 Pour l’âge,

STATISTIQUE INDUCTIVE 2ème LFG-HEC(PREPA) TD n0 2 : Convergence, échantillonnage et estimation Exercice 1 Soit X une variable aléatoire qui suit une loi Hypergéométrique H(1000 ; 50 ; p) 1) Par quelle(s) lois peut-on approcher la loi de X lorsque p = 0, 5 ? 2) Par quelle(s) lois peut-on approcher la loi de X lorsque p = 0, 05 ? Exercice 2 Une entreprise compte 300 employés. Chacun d’eux téléphone en moyenne 6 minutes par heure. Soit X la VAR égale au nombre d’employés qui téléphonent à

Modèles KMV (Kealhofer, McQuown et Vasicek) APPROCHE STRUCTURELLE 2 où XT est la valeur de la dette à maturité T, r est le taux d’intérêt d’un placement sans risque et N (.) est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Nous savons que la variable VA suit une loi lognormale de paramètres : m = E( 1 VA,T ) = (µ − σ 2 )(T − t) VA,t 2 VA,T ) = σ 2 (T − t) VA,t s2 = V ar( De là, nous déduisons que la probabilité de défaut (lorsque VA,T < X) est donnée par : P (VA,T < X) =

Fréquence 1 1 Déterminer la moyenne arithmétique de X. A 0,15 2 3 0,1 B 0,25 Déterminer variance σ2 de X. A 0,0425 Contexte 2 B 0,0567 [4+4+4 points] On tire sans remise un échantillon de 5 employés d’une population normale de 100 employés afin d’estimer le salaire moyen μ de la population. Voici les salaires (en milliers de dollars) des 5 employés de l’échantillon : 40 45 48 52 55 3 Déterminer l’écart-type corrigé s des salaires (en milliers de dollars).

-1,6079 | 1,4479 | -,118 | 9 | ,908 | Réponse : le Sig = 0,908 il est donc supérieur à 0,05 on accepte donc H0 et le fait que m1=m2 avant et après traitement. 3) Test de Kolmogorov-Smirnov Hypothèses  H0 : X suit une loi Normale H1 : X ne suit pas une loi Normale Test de Kolmogorov-Smirnov à un échantillon | | salaire en euro | N | 15 | Paramètres normauxa,b | Moyenne | 1359,67 | | Ecart-type | 71,576 | Différences les plus extrêmes | Absolue | ,177 | | Positive |

Notations : – X = (X1 , . . . , Xp ) : variable aléatoire explicative de dimension p, x = (x1 , . . . , xp ) une réalisation de x ; – Y variable (univariée) à expliquer. – (X1 , Y1 ), . . . , (Xn , Yn ) : un n-échantillon aléatoire (iid et de même loi que le couple (X, Y )), tel que Xi = (Xi1 , . . . , Xip ) ; – (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) une réalisation de (X1 , Y1 ), . . . , (Xn , Yn ). 1.1 Rappels sur le modèle linéaire Le contexte Nous cherchons à expliquer une variable Y par p variables