Matrice de permutation

graphiques Utilisation de la couleur sur la TI-83 Premium CE Utilisation du tracé rapide et de l'ajustement d'équation Utilisation des images Utilisation d'images et d'arrière-plans ii 1 1 3 3 5 7 8 17 22 22 33 33 35 43 43 45 46 46 Utilisation des matrices 48 Utilisation des probabilités et des statistiques 51 Utilisation des probabilités Utilisation des statistiques Utilisation des variables Utilisation des noms de variables Stockage des valeurs de variables Rappel des valeurs de variable Résolution

3 juillet 1995, sur la protection des droits d’auteur. Annexe A Exercice 1 ⎡ 1 3 3⎤ Pour les matrices A = ⎢ ⎥ et B = ⎣ 2 4 1⎦ ⎡2 4⎤ ⎢1 5 ⎥ , calculer AB, A′B′, et BA. ⎢ ⎥ ⎢6 2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡10 22 10 ⎤ ⎡ 23 25⎤ ⎢ ⎥ AB = ⎢ ⎥ , BA = ⎢11 23 8 ⎥ ⎣14 30 ⎦ ⎢10 26 20 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡10 11 10 ⎤ A′B′ = (BA)′ = ⎢ 22 23 26 ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢10 8 20 ⎥ ⎣ ⎦ Exercice 2 Prouver que tr(AB) = tr(BA) avec A et B deux matrices quelconques, non nécessairement carrées, pouvant être multipliées. Le i-ième élément de la diagonale

méthodes classiques de cryptage. La troisième partie présentera des ébauches d'applications, plus particulièrement destinées aux runners et vous offrira une amusante machine de cryptage. Enfin, la dernière section vous montrera quelques ressources de la matrice consacrées à la cryptographie. Je vous souhaite une agréable lecture. N'hésitez pas à m'envoyer vos remarques et suggestions à SPerry@mit.edu 1. Qu'est-ce que la cryptographie ? De tous temps, les services secrets ont utilisé toutes sortes de

7 Marc HINDRY Introduction et pr´sentation. e 1 Le langage math´matique e 2 Ensembles et applications 3 Groupes, structures alg´briques e 4 Les corps des r´els R et le corps des complexes C e 5 L’anneau des entiers Z 6 L’anneau des polynˆmes o 7 Matrices 8 Espaces vectoriels 9 Applications lin´aires e 10 Introduction aux d´terminants e 11 G´om´trie dans le plan et l’espace e e Appendice : R´sum´ d’alg`bre lin´aire e e e e 12 Suites de nombres r´els ou complexes e 13 Limites et continuit´ e 14 D´riv´es

1.1 Résolution des systèmes triangulaires. . . . . . . . . . . . 2.1.2 Méthode d'elimination de Gauss et décomposition LU . . . 2.1.3 Elimination avec recherche de pivot. . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Matrices tridiagonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 L'inverse d'une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Considération sur la précision des méthodes directes pour les systèmes linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Méthodes itératives. . . . . . .

nulle et u e |1 − j 2 | = |j 3 − j 2 | = |j 2 ||j − 1| = |j − 1| et |j − j 2 | = |j||1 − j| = |1 − j| = |j − 1|. On a donc bien √ ρ = 27. 4. Une minoration du r´ el ρ : e q−1 a. Le terme g´ n´ ral apq de la matrice V (Ω) est : apq = (ωp ) e e = e2i(p−1)(q−1)π/n. Le terme g´ n´ ral bmk de la matrice V (Ω)V (Ω) est donc : e e n n n n bmk = s=1 ams ask = s=1 e−2i(m−1)(s−1)π/n.e2i(s−1)(k−1)π/n = s=1 e2i(s−1)(k−1−m+1)π/n = s=1 e2i(s−1)(k−m)π/n. Il s’agit de la somme des termes d’une

pour un échantillon) 5. Relations entre les variables Graphique en Nuage de Points Aller dans Graphique / Diagramme. Introduire les deux variables. Covariance Aller dans Stat / Statistiques élémentaires / Covariance. On obtient la matrices des variances-covariances de l’échantillon. (Il s’agit de la covariance pour un échantillon) Coefficient de Corrélation Aller dans Stat / Statistiques élémentaires / Corrélation. (il y a un seul coefficient de corrélation [population ou échantillon])

e III Le groupe sym´trique . . . . . . . . . . . . . . . . . e III.1 Le groupe sym´trique . . . . . . . . . . . . . . . . e III.2 Cycles et transpositions . . . . . . . . . . . . . . . III.3 D´compositions d’une permutation . . . . . . . . . e III.4 Signature d’une permutation . . . . . . . . . . . . IV Anneaux, sous-anneaux, corps . . . . . . . . . . . . IV.1 Structure d’anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2 Calculs dans un anneau . . . . . . . . . . . . . . . IV.3 El´ments remarquables

Contents 1 G´n´ralit´s e e e 1.1 Matrices et applications lin´aires . . . . . . . . . . . . . e 1.2 Le calcul matriciel par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Le compl´ment de Schur ; ses factorisations associ´es e e 1.4 Les matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Noyaux, images et rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Quelques aspects euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Les matrices d´finies-positives (>>0) . . . . . . . . . . . e . . . . . .

Denis Diderot (Paris VII) e ´ ` ´ Preparation a l’Agregation Interne 13 D´cembre 2008 e 1 Quelques exercices sur la dualit´ e Exercice 1. Soit E un espace vectoriel de dimension finie B, B deux bases de E. Notons P la matrice de passage de B a B . Quelle est la matrice de passage de la base duale B ∗ de B a la base duale (B )∗ ` ` de B ? Exercice 2. Soient a et b deux points distincts de K. Sur le K espace vectoriel E des polynˆmes de degr´ o e 3, on consid`re les formes lin´aires f1 : P →