Automorphisme

tel que x ∈ Gn c’est à dire tel que u n (x ) = o . Si n > 0 , alors u n −1 (u (x )) = o donc u (x ) ∈ Gn −1 puis u (x ) ∈ G . Si n = 0 , alors u 0 (x ) = o donc x = o car u 0 = Id . Mais alors u (x ) = o et donc u (x ) ∈ G . 2.c 3.a Si u est un automorphisme de E alors pour tout n ∈ ℕ , u n l’est aussi. On a donc Fn = E car u n surjectif et Gn = {o } car u n injectif. Au final F = E et G = {o } . Par récurrence sur p ∈ ℕ . Pour p = 0 : ok Supposons la propriété établie au rang p ≥ 0 . La suite (Fn

un endomorphisme de E tel que pour tout vecteur x de E la famille (x, f(x)) soit liée. Montrer que f est une homothétie. no 26 (***I) : Soit E un espace de dimension finie. Trouver les endomorphismes (resp. automorphismes) de E qui commutent avec tous les endomorphismes (resp. automorphismes) de E. no 27 (**I) : Soient p et q deux projecteurs d’un C-espace vectoriel E. Montrer que (p + q projecteur) ⇔ (p ◦ q = q ◦ p = 0) ⇔ (Im(p) ⊂ Ker(q) et Im(q) ⊂ Ker(p)). Dans le cas où p + q est un projecteur

par f (x, y) = x + y + 1 c) f : R2 → R définie par f (x, y) = xy d) f : R3 → R définie par f (x, y, z) = x − z ? Exercice 26 [ 01704 ] [correction] Soit f : R2 → R2 définie par f (x, y) = (x + y, x − y). Montrer que f est un automorphisme de R2 et déterminer son automorphisme réciproque. Exercice 27 [ 01705 ] [correction] Soit J : C([0, 1] , R) → R définie par J(f ) = Montrer que J est une forme linéaire. 1 0 f (t) dt. Exercice 28 [ 01706 ] [correction] Soit ϕ : C ∞ (R, R) → C ∞ (R,

L'application u → u∗ est un automorphisme involutif de EndE ; (uv)= v ∗ u∗ , tr(u∗ ) = tr(u), det(u∗ ) = det(u), rg(u∗ ) = rg(u), (u∗ )−1 = (u−1 )∗ Si F est stable par u, F ⊥ est stable par u∗ 3 2.4 Automorphismes orthogonaux 2.4.1 Dénition Soit u un automorphisme de E ; u conserve le ps ⇔ u conserve la norme (isométrie) ⇔ u∗ = u−1 ⇔ u est un automorphisme orthogonal 2.4.2 Groupe orthogonal O(E) est un groupe 2.4.3 Caractérisation des automorphismes orthogonaux Soit u ∈ GL(E)

dérivée, intégrale. 3) Vocabulaire. Une application linéaire de E dans lui-même est appelée un endomorphisme de E. Une application linéaire bijective est appelée un isomorphisme d’espaces vectoriels. Un endomorphisme de E bijectif est appelé un automorphisme de E. E3 II) ESPACE VECTORIEL DES APPLICATIONS LINÉAIRES L (E, F ) Notation : L (E, F ) est l’ensemble des applications linéaires de E dans F : L (E, F ) = {f ∈ F E / f est linéaire} Quand E = F, on abrège la notation en L (E) , (ou EN D (E)).

v admettent des adjoints, il en est de mˆme de u ◦ v et (u ◦ v)∗ = v ∗ ◦ u∗ , u∗∗ = u. e • L’ensemble des endomorphismes de E admettant un adjoint est une sous-alg`bre de L(E). e L’application u → u∗ est lin´aire et involutive. e • Si u est un automorphisme de E et si u et u−1 admettent des adjoints, on a : (u∗ )−1 = (u−1 )∗ . Exercice 1. — Si u admet un adjoint et si H est un sous-espace stable de E par u, H ⊥ est stable par u∗ . Solution. Si y ∈ H ⊥ , x ∈ H, φ(x, u∗ (y)) = φ(u(x), y) = 0, puisque

dt = 0 f (t) ex−t dt = H (f ) (x) donc H (f) = Ψ (f ) . n n n+1 k k k IV.1 ◦V = = id − T n+1 → 0 quand n tend vers l’infini. k=0 T k=0 T − k=1 T ∞ k W = k=0 T = id+ convient. On remarque que l’on a encore V ◦ W = id donc W et V sont des automorphismes réciproques de E. IV.2 (S) équivaut à (id − T ) (f ) = g soit V (f) = g mais comme V est inversible (S) a une et une seule solution dans E... IV.3 ... qui est h = W (g) car V (f) = g entraîne W (V (f )) = W (g) = f. Donc h (x) = x (id + Ψ) (g)

par une conclusion. Dans tout le problème, E désigne un C-espace vectoriel de dimension finie n 2. On note GL(E) le groupe (pour la composition des applications) des automorphismes de E et SL(E) l’ensemble des endomorphismes de E de déterminant 1. id E désigne l’application identité de E. On appelle involution de E un automorphisme u de E tel que u 2 = id. E ∗ désigne l’ensemble des formes linéaires de E. On appelle transvection de E tout endomorphisme t de E différent de id E possédant les deux propriétés

Propriétés : On dit que les espaces E et F sont isomorphes ; la bijection réciproque f^(-1) est un isomorphisme de F dans E ; 2 e.v. isomorphes sont de même dimension(dim⁡E=dim⁡F). Un automorphisme est un endomorphisme (application linéaire) bijectif de E. Notation : l’ensemble des automorphismes de E se note GL(E). Si f∈L(E,F) et g∈L(F,G) alors g∘f∈L(E,G). Attention, généralement f∘g≠g∘f. Noyau et image : Le noyau de f, noté Ker(f), est l’ensemble Ker(f)={u∈E / f(u)=0} Autrement

un endomorphisme de E tel que pour tout vecteur x de E la famille (x, f(x)) soit liée. Montrer que f est une homothétie. no 26 (***I) : Soit E un espace de dimension finie. Trouver les endomorphismes (resp. automorphismes) de E qui commutent avec tous les endomorphismes (resp. automorphismes) de E. no 27 (**I) : Soient p et q deux projecteurs d’un C-espace vectoriel E. Montrer que (p + q projecteur) ⇔ (p ◦ q = q ◦ p = 0) ⇔ (Im(p) ⊂ Ker(q) et Im(q) ⊂ Ker(p)). Dans le cas où p + q est un projecteur