Matrice de permutation

Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD Enoncés 1 Matrices et déterminants Généralités sur les matrices Exercice 1 [ 00700 ] [correction] Soit A une matrice carrée de rang 1. Montrer qu’il existe λ ∈ K tel que A2 = λA. Exercice 2 [ 00702 ] [correction] Résoudre l’équation X 2 = A où 1 0 A= 0 4 0 0   1 2  16 Exercice 6 Centrale MP [ 02390 ] [correction] Soit n un entier 2 et A un hyperplan de Mn (C) stable pour le produit matriciel. a) On suppose que In ∈ A. Montrer

DE COMMERCE) Donnée: Un couple (n, M ), où M est une matrice n × n d’entiers et un entier k. Réponse: Décider s’il existe une permutation π de [1, 2, · · · , n] telle que Mπ(i)π(i+1) ≤ k. 1≤i≤n Corollaire 12.2 Le problème VOYAGEUR DE COMMERCE est NP-complet. Ce problème porte ce nom, car on peut voir cela comme l’établissement de la tournée d’un voyageur de commerce devant visiter n villes, dont les distances sont données par la matrice M de façon à faire moins de k kilomètres. Démonstration

....................................... 4.5.1. Algorithme de Schorr-Waite ................................................ 4.5.2. Amélioration de l’algorithme de Schorr-Waite.. ....................... 4.5.3. Représentation d’un graphe sur une matrice booléenne.. ............ 4.5.4. Fermeture transitive .......................................................... Ordres partiels et totaux .............................................................. Exercices.. ..............................

correcteurs. On verra plus loin comment ces valeurs se modifient pour rejoindre progressivement une échelle qui reflète le jugement du groupe des répondants. 2. La procédure qui suit est empruntée à Michaël Strobel. Sur la permutation des lignes et des colonnes d’une matrice de réponses et les «méthodes visuelles», cf. Benzécri, t.1, p.82-3. 8 LAUGAAM VERHAEG POMEL V RIPOLLE ALLAMER BELGHER HARCETE BOUCHET THORINS NEXERER MAHUREV ESPIAGO TENFICH BOUMAZA LECUYER BROUSSE RISBERG

vers une gaussienne N(0, Π(t) − Π(t)2 ). De plus le th´or`me de la limite centrale vectoriel √ e e n Fn (ti )−Π(ti ) , 1 ≤ i ≤ d converge montre que pour tout (t1 , · · · , td ) ∈ [0, 1]d , le vecteur en loi vers un vecteur gaussien centr´ dont la matrice de covariance Σ est celle de (1[0,ti ] (U1 ) 1 ≤ e i ≤ d). Si d = 1, la covariance du processus gaussien centr´ Z limite est E(Zs Zt ) = s ∧ t − s t e pour tout s, t ∈ [0, 1], c’est ` dire la covariance du pont Brownien Wt − t W1 , o` (Wt , t ≥ 0)

équations et les systèmes d’équations. Il est possible d’entrer certaines fonctions ou certaines expressions à partir de modèles (/r) comme nous allons le voir pour les systèmes d’équations, mais également plus loin pour les intégrales, les dérivées, les matrices… Résolution d’une équation - dans le corps des réels - dans le corps des complexes solve(eq, var) var) Touches b31 Touches b3A1 cSolve(eq, La fonction solve retourne un résultat sous forme d’une, ou plusieurs égalités séparées par or

B−Card(A∩B). Si E et F sont des ensembles finis, E × F l’est aussi et Card (E × F ) = Card E · Card F. Cardinal de l’ensemble F(E, F ) des applications de E dans F ; cardinal de l’ensemble P(E) des parties de E. Cardinal de l’ensemble des bijections (permutations) de E. n Cardinal de l’ensemble des parties ayant p ´l´ments ee p d’un ensemble E ` n ´l´ments. Combinaisons. a ee Relations n n = , p n−p n p=0 n = 2n , p n n−1 n−1 = + (triangle de Pascal). p p p−1 Interpr´tation ensembliste de ces

(la pente)  s2 x  a = y − b¯ = y − sxy x (la constante). ¯ x ¯ ¯  s2 x Pour v´rifier qu’il s’agit bien d’un minimum, on doit montrer que la matrice hessienne des d´riv´es secondes e e e est d´finie positive. Cette matrice vaut : e  2  ∂ M (a, b) ∂ 2 M (a, b)  ∂a2 ∂a∂b   H= 2  ∂ M (a, b) ∂ 2 M (a, b)  . ∂a∂b ∂b2 On a ∂ 2 M (a, b) = 2n, ∂a2 La matrice hessienne vaut donc n ∑ ∂ 2 M (a, b) =2 x2 , i ∂b2 i=1 n ∑ ∂ 2 M (a, b) =2 xi = 2n¯. x ∂a∂b i=1 et ( n H=2 ∑ xi  1 . . . X = 1  . 

inverses 55 15 Calculs d’int´grales e 58 ´ 16 Equations diff´rentielles e 65 III ` ALGEBRE 2 70 17 Espaces vectoriels 70 18 Applications lin´aires e 73 19 Espaces vectoriels de dimension finie 78 20 Matrices 83 21 D´terminants e 90 IV ANALYSE 2 94 22 Suites : compl´ments e 94 23 Continuit´ et comparaison de fonctions e 95 24 D´rivabilit´ e e 97 25 D´veloppements limit´s e e 99 26 Int´grales : compl´ments

"1" sur la diagonale (descendante) et des "0" partout ailleurs, est appelé matrice unité. Chaque colonne de cette matrice unité s’appelle colonne unité. On peut donc considérer que si, par diverses transformations que l'on va détailler ci-dessous on obtient un tel tableau, le système est résolu. Remarquons toutefois que si l'on obtient le tableau suivant (la partie gauche étant la matrice unité à une permutation des lignes près) le système peut encore être considéré comme résolu. Forme